Gebrochenrationale Funktionsgleichung zum gegebenen Graphen konstruieren?

Question

Aufgabe:

Ich hab keine Ahnung wie man diese Funktion konstruieren soll.

Answer 1

1. Bitte erst mal auf deinem Blatt die Asymptoten mit dem Lineal einzeichnen. So genau wie möglich die Schnittpunkte der Asymptoten mit den Achsen ablesen. Was hast du da auf dem Blatt?

2. Dann ebenfalls so genau wie möglich Punkte ablesen, die auf dem Graphen liegen. Ich sehe am Bildschirm nur O(0|0) einigermassen exakt. Welche weiteren Punkte hast du hier ?

3. Falls dir zu 1. und 2. nichts einfällt einfach heiter drauf los raten und hier Zahlen so lange ändern, bis die Kurve wirklich passt.

Plotlux öffnen

f₁(x) = 2/(x-2)+1f₂(x) = 1x = 2Zoom: x(-20…20) y(-10…10)

Comments

Besser so:

Plotlux öffnen

f₁(x) = 2/(x-2)+1f₂(x) = 1x = 2Zoom: x(-10…18) y(-9…9)

Gebe dir aber trotzdem einen Daumen (ausgleichende Gerechtigkeit :-))

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Eins versteh ich jz nicht und zwar, wenn ich die Polstelle und die Asymptote kenne, wie geh ich dann genau vor ?

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Nimm die Funktion

y = 1/x

Du kennst hier die Asymptote von 0 und die Polstelle bei 0

Du kannst die Funktion jetzt strecken und stauchen sowie in x und y Richtung verschieben

y = a * 1/(x - c) + d

Das a streckt bzw. staucht die Funktion. Das c verschiebt in x-Richtung. Damit verschiebt sich die Polstelle. Das d verschiebt die Funktion in y-Richtung und damit die horizontale Asymptote.

Diese Modifikationen solltest du bereits für lineare und quadratische Funktionen kennengelernt haben. Eventuell auch bereits für die Trigonometrischen Funktionen wie dem sinus und dem Cosinus.

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Danke für deine Erklärung ! 

Eine Frage hätte ich noch. wie ist man auf die 2 im Zähler gekommen ? durch Raten ?

für mich ist es eig nicht klar ob die Funktion gestaucht oder getreckt ist :/

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Man hat gesehen das die Funktion durch den Ursprung geht und hat das a entsprechend angepasst

Ich zeichne mal die Funktion für verschiedene Werte von a

y = a * 1/(x-2) + 1

Dann solltest du das erkennen. Wenn nicht nochmals nachfragen.

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Dabei kannst du bei unbekanntem a auch den Ursprung einsetzen und nach a auflösen

y = a * 1/(x - 2) + 1

0 = a * 1/(0 - 2) + 1
0 = a * (-1/2) + 1
-1 = a * (-1/2)
2 = a
a = 2

Answer 2

Es könnte sich um eine Hyperbel handeln
f ( x ) = 1/x ( Postelle bei x = 0 )

Die eine Polstelle bei x = 2
f ( x ) = 1/ ( x -2 )

sowie eine waagerechte Asymptote bei y = 1 hat.
f ( x ) = 1/ ( x -2 ) + 1

Der Graph sieht bei mir recht ähnlich aus.

Comments

Der Graph sieht bei mir recht ähnlich aus.

Augenscheinlich verläuft der Graph durch den Ursprung.

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In dem Fall gibt es eine Nullstelle bei x=1. in dem Graph ist aber eine Nullstelle bei x=0

oder versteh ich was falsch ?

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@Daniel: Schau besser den Graphen genau an und lies so viel genau ab, wie du kannst.

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Die eine Polstelle bei x = 2 hat
besser x = 1

f ( x ) = 1/ ( x -1 ) + 1

Eigenschaften
f ( 1 ) = = 1/ ( 1 -1 ) + 1 = nicht definiert
Polstelle x = 1

f ( 0 ) = 1/ ( 0 -1 ) + 1 = 0
( 0 | 0 )

f ( 2 ) = 1/ ( 2 -1 ) + 1 = 2
( 2 | 2 )

waagerechte Asymptote
lim x -> ∞ [ 1/ ( x -1 ) + 1] = 1

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Bei x = 1 liegt keine Polstelle vor.

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f ( 2 ) = 1/ ( 2 -1 ) + 1 = 2
( 2 | 2 )

Wenn man die Skalierung auf der x-Achse beachtet, hat man eher den Punkt (4|2) 

[ noch wahrscheinlicher den Punkt (0|0) ] 

Dann kommt man zu der Funktion von TR

f(x) = 2 / (x-2) + 1 

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wie geh ich dann genau vor ?

f ( x ) = a / ( x - b ) + c

Polstelle
x - b = 0 | Division durch 0
x = 2
f ( x ) = a / ( x - 2 ) + c

Verhalten im Unendlichen
f ( ∞ ) = a / ( ∞ - 2 ) + c
a / ( ∞ - 2 ) = 0
abgellesen y = 1
f ( ∞ ) = a / ( ∞ - 2 ) + c  = 1
f ( ∞ ) = c = 1
f ( x ) = a / ( x - 2 ) + 1

abgelesen Punkt ( 0 | 0 )
f ( 0 ) = a / ( 0 - 2 ) + 1  = 0
a / ( 0 - 2 ) + 1  = 0
a / -2 + 1 = 0
a / -2 = -1
a = 2

f ( x ) = 2 / ( x - 2 ) + 1