Polynomfunktion 3.Grades hat Wendepunkt W(11|y_W) . Im Punkt P(4|6) usw. Funktionsgleichung?

Question

Polynomfunktion 3.Grades hat Wendepunkt W(11|y_W) . Im Punkt P(4|6) usw. Funktionsgleichung?

Aufgabe: Eine durch den Koordinatenursprung verlaufende Polynomfunktion 3.Grades hat den Wendepunkt W(11|y_W). Im Punkt P(4|6) hat die Funktion eine waagrechte Tangente. Ermittle die Funktionsgleichung.

Problem/Ansatz:

Das hier ist die Aufgabenstellung für meine Matheprüfung die ich erklären muss und ich sitze schon seit gestern daran aber ich komme nicht weiter. Ich habe diese Frage gestern schon gestellt und bekam eigentlich sehr hilfreiche Antworten, jedoch ist mir aufgefallen, das ich die Angabe falsch hingeschrieben habe. Könnte mir bitte jemand helfen? Vielen Dank!!!

Fehlerhafte Frage von gestern: Eine durch den Koordinatenursprung verlaufende Polynomfunkton 3.Grades hat den Wendepunkt (W|yW). Im Punkt P(4|6) hat die Funktion eine waagrechte Tangente. Ermittle die Funktionsgleichung.

Gefragt 2 Jan 2020 von n

📘 Siehe "Kurvendiskussion" im Wiki

4 Antworten

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lul · Answer 1 · 2020-01-01T14:15:05+0000

Antwort auf Version vom Vortag: Wendepunkt (W|yW). Im Punkt P(4|6)

Hallo

was weist du von dem Polynom?

1. allgemein f(x)=a*x³+b*x²+c*x+d

jetzt brauchst du 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten.

1.f(0)=0

2.f(4)=6

3.f'(4)=0

4. f''(W)=0

und da du W nicht kennst noch

5. f(W)=Wy

jetzt schreib die 4 Gleichungen hin. und löse auf.

Gruß lul

Der_Mathecoach · Answer 2 · 2020-01-01T14:17:23+0000

Antwort auf Version vom Vortag: … Wendepunkt (W|yW). Im Punkt P(4|6)…

f(x) = a·x³ + b·x² + c·x + d
f'(x) = 3·a·x² + 2·b·x + c
f''(x) = 6·a·x + 2·b

f(0) = 0 → d = 0
f''(w) = 0 --> 6·a·w + 2·b = 0
f(4) = 6 --> 64·a + 16·b + 4·c + d = 6
f'(4) = 0 --> 48·a + 8·b + c = 0

Löse das Gleichungssystem in Abhängigkeit von w. Ich erhalte als Kontroll-Lösung:

a = 3/(24·w - 64) ∧ b = 9·w/(64 - 24·w)) ∧ c = (9·w - 18)/(3·w - 8)

Damit lautet die Funktionsgleichung:

f(x) = 3/(24·w - 64)·x³ + 9·w/(64 - 24·w)·x² + (9·w - 18)/(3·w - 8)·x

f(x) = (3·x³ - 9·w·x² + 72·w·x - 144·x)/(24·w - 64)

Tschakabumba · Answer 3 · 2020-01-01T20:35:58+0000

Antwort auf Version vom Vortag: … Wendepunkt (W|yW). Im Punkt P(4|6)…

Aloha :)

"Eine durch den Koordinatenursprung verlaufende Polynomfunkton 3.Grades..."

Das sind 2 Informationen, wir erfahren hier, dass ein Polynom 3-ten Grades gesucht ist: $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ und das die Funktion durch den Punkt $(0|0)$ geht. Das heißt: $0=p(0)=a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d\quad\Rightarrow\quad d=0$ Also sieht die Funktion wie folgt aus: $p(x)=ax^3+bx^2+cx$

"...hat den Wendepunkt (W|yW)..."

Am Wendepunkt ist die zweite Ableitung gleich $0$ . Daher benötigen wir die Ableitungen: $p'(x)=3ax^2+2bx+c$ $p''(x)=6ax+2b$ Der Wendepunkt liegt bei $(w|y_w)$ , daher muss gelten: $0=p''(w)=6aw+2b\quad\Rightarrow\quad b=-3aw$ Damit sieht die gesuchte Funktion so aus: $p(x)=ax^3-3aw\,x^2+cx$

"...Im Punkt P(4|6) hat die Funktion eine waagrechte Tangente."

An der Stelle $x=4$ hat die Funktion den Wert $p(4)=6$ . Das heißt:

$6=p(4)=a\cdot4^3-3aw\cdot4^2+c\cdot4=64a-48aw+4c\quad\Rightarrow\quad64a-48aw+4c=6$

An der Stelle $x=4$ hat die Funktion auch eine waagerechte Tangente, d.h. die erste Ableitung ist $0$ :

$0=p'(4)=3a\cdot4^2+2b\cdot4+c=48a+8\cdot(\underbrace{-3aw}_{=b})+c\quad\Rightarrow\quad48a-24aw+c=0$ Zur Ermittlung der beiden noch fehlenden Parameter $a$ und $c$ haben wir also folgende beiden Gleichungen:

$1)\quad(64-48w)\cdot a+4\cdot c=6$ $2)\quad(48-24w)\cdot a+c=0$ Die zweite Gleichung liefert $c=-(48-24w)\cdot a$ . Das setzen wir in die erste Gleichung ein:

$6=(64-48w)\cdot a+4\cdot c=(64-48w)\cdot a-4(48-24w)\cdot a=(48w-128)\cdot a$ $\Rightarrow a=\frac{6}{48w-128}=\frac{3}{24w-64}$ Dieses Ergebnis setzen wir in die 2-te Gleichung ein, um $c$ zu ermitteln:

$c=-\frac{3\cdot(48-24w)}{24w-64}=\frac{72w-144}{24w-64}$ Damit haben wir die Funktion gefunden:

$p(x)=ax^3-3aw\,x^2+cx$ $\phantom{p(x)}=\frac{6}{48w-128}x^3-\frac{18w}{48w-128}\,x^2+\frac{72w-144}{24w-64}\,x$ $\phantom{p(x)}=\frac{3}{24w-64}x^3-\frac{9w}{24w-64}\,x^2+\frac{72w-144}{24w-64}\,x$ $\phantom{p(x)}=\frac{3}{24w-64}\left(x^3-3w\,x^2+(24w-48)\,x\right)$

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