Reihe mit dem Quotenkriterium auf Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

\( a_{k}=\frac{k !}{100^{k}}  \)
$$ \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|=\left|\frac{\frac{(k+1) !}{100^{k+1}}}{\frac{k !}{100^{k}}}\right|=\frac{(k+1)! \cdot 100^k }{100^{k+1} \cdot k!} $$

Problem/Ansatz:

Ab dort hab ich das Problem, dass ich nicht weiß, wie ich weiter vorgehen soll und auf \( =\frac{k + 1}{100}  \) komme. Irgendwie haut das bei mir bei der Umrechnung nicht hin.

Ich möchte es gern verstehen, deshalb würde ich mich über einen ausführlichen Weg oder Vorschläge wie ich das berechnen soll, freuen! :)

Answer 1

\((k+1)! = (k+1) \cdot k \cdot (k-1) \cdot ...\)
\(k! \quad \quad\:\! = \quad \quad \quad \, k \cdot (k-1) \cdot ...\)

Kürzt sich also zu k+1.

Und \(\dfrac{100^{k}}{100^{k+1}} = 100^{k-(k+1)} = 100^{-1}=\dfrac{1}{100}\).

Du kommst also insgesamt auf \(\dfrac{k+1}{100}\).

Answer 2

Hallo

100^k/100^k+1=1/100 , (k+1)!=k!*(k+1) kürzen und du hast das Ergebnis .

Gruß lul