Wie lautet die Zeilenstufenform der Matrix, für welche Werte ist LGS lösbar und für welche gibt es freie Unbekannte?

Question

Aufgabe:

Sei a∈R beliebige Konstante.

$$(A,b) := \left( \begin{array}{cc|c}1& 1& a\\a^2& a& 1\\-a& -1& -a\end{array}\right)$$

Bringen Sie (A,b) auf Zeilenstufenform.

Tipp: Gehen Sie dabei am besten so vor, dass keine Fallunterscheidung für a erforderlich wird, keine Brüche auftreten, und die endgültige Form für alle Werte von a Zeilenstufenform hat.

Geben Sie an, für welche Werte von a das inhomogene LGS lösbar ist und für welche Werte von a es freie Unbekannte gibt.

Problem/Ansatz:

Ich kann die Matrix durch elementare Zeilenumformung auf eine Zeilenstufenform bringen. Allerdings scheitere ich dabei, es ohne Brüche und ohne Fallunterscheidung hinzubekommen. Was übersehe ich?

Answer 1

Tja, wer weiß?

$\scriptsize \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&a&1\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{array}\right) \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\-a^{2}&1&0\\a&0&1\\\end{array}\right)A= \, \left(\begin{array}{rrr}1&1&a\\0&a - 1&a^{2} - a\\0&0&-a^{2} + 1\\\end{array}\right)$

Kommst Du jetzt weiter?