Wie kann man ohne Startwerte Funktionen erzeugen?

Question

Ich habe folgende Aufgabe:

Finde die erzeugende Funktion zur Folge a_n= n³.

Normalerweise weiß ich, wie man erzeugende Funktionen berechnen kann, aber in dem Falle haben wir keine Startwerte und die Rekursion ist auch nicht linear.

Deswegen die Frage: Wie ich kann ich die erzeugende Funktion finden ?

Dazu hab mit Wolfram Alpha das Ergebnis \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n³*xⁿ} \)  =  \( \frac{x*(x²+4x+1)}{(x-1)⁴} \) gegeben, aber wie man das berechnet, verstehe ich leider nicht.

Kann mir jemand helfen ? :)

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Wolfram Alpha : \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{n^3 * x^n } \) =  \( \frac{x*(x^2+4*x+1)}{(x-1)^4} \)

Answer 1

Bekanntlich gilt für \(\vert x\vert<1\) die geometrische Reihe:$$\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}.$$Ableiten:$$\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^2}$$Multipliziere mit \(x\):$$\sum_{n=1}^\infty nx^n=\frac x{(1-x)^2}$$Ableiten:$$\sum_{n=1}^\infty n^2x^{n-1}=\frac{1+x}{(1-x)^3}$$Multipliziere mit \(x\):$$\sum_{n=1}^\infty n^2x^n=\frac{x+x^2}{(1-x)^3}$$Ableiten:$$\sum_{n=1}^\infty n^3x^{n-1}=\frac{1+4x+x^2}{(1-x)^4}$$Multipliziere mit \(x\):$$\sum_{n=0}^\infty n^3x^n=\frac{x+4x^2+x^3}{(1-x)^4}.$$

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Wooow vielen dank für die Antwort, ich gar nicht auf die Idee mit dem ableiten gekommen ... Vielen Dank :)

Answer 2

Hallo

 leite ∑x^n 3 mal ab und  ∑x^n=1/(1-x)

 Gruß lul

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Danke sehr :))