Aufgabe:
Wie kann ich den Konvergenzradius der Potenzreihe ∑n=0∞(2nn \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(\frac{2n}{n}} n=0∑∞(n2n) * zn bestimmen, wobei das kein Bruch ist, sondern (2n über n), also der Binomialkoeffizient.
Ich weiß gar nicht, wie ich da ran gehen soll.
Vielen Dank im Voraus!
Schau mal hier:
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Mittlerer_Binomialkoeffizient
Man kann abschätzen:
(2n über n)<= 4n
Also hast du schonmal R=1/4 als Limit.
Hallo,
ich wüsste nicht, warum man abschätzen sollte. Es gilt nach Definition des Binomialkoeffzients:(2nn)=(2n)!n!(2n−n)!=(2n)!(n!)2\begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix}=\frac{(2n)!}{n!(2n-n)!}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}(2nn)=n!(2n−n)!(2n)!=(n!)2(2n)! Also gilt mit an : =(2n)!(n!)2a_n:=\frac{(2n)!}{(n!)^2}an : =(n!)2(2n)!, dass:r=limn→∞∣anan+1∣=limn→∞(2n)!(n!)2(2(n+1))!((n+1)!)2=limn→∞(2n)!((n+1)!)2(n!)2(2n+2)!=limn→∞n+14n+2=14r=\lim\limits_{n\to\infty}\left | \frac{a_n}{a_{n+1}}\right |=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{(2n)!}{(n!)^2}}{\frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2n)!((n+1)!)^2}{(n!)^2(2n+2)!}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1}{4n+2}=\frac{1}{4}r=n→∞lim∣∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣∣=n→∞lim((n+1)!)2(2(n+1))!(n!)2(2n)!=n→∞lim(n!)2(2n+2)!(2n)!((n+1)!)2=n→∞lim4n+2n+1=41
Vielen Dank! Ich habe ganz vergessen, dass man das umschreiben kann.
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