Körper K und K-Vektorräume V und W usw. Zeigen Sie: f ist genau dann injektiv, wenn ker(f) = {0}.

Question

Hallo Ihr Lieben,

kann mir dabei jemand helfen? Habe leider keinerlei Ansatz.. :-(

Aufgabe:

Gegeben seien ein Körper K und K-Vektorräume V und W, sowie eine K-lineare Abbildung f : V → W. Zeigen Sie: f ist genau dann injektiv, wenn ker(f) = {0}.

Comments

Zumindest ein Anfang mit 1) hier möglich?

https://www.mathelounge.de/130299/seien-vektorraume-uber-einem-korpe…

Anmerkung: Eure Fragen unterscheiden sich leicht.

Answer 1

Aloha :)

Zu zeigen: $f:V\to W\,,\,\vec x\mapsto F\cdot\vec x$   ist injektiv $\;\;\Leftrightarrow\;\;$ Kern$(F)=\{\vec 0_V\}$

Die lineare Abbildung $f$ werde druch eine Matrix $F$ realisiert. Dann können wir Folgendes sagen.

Hinrichtung "$\Rightarrow$"

Wegen $F\cdot\vec 0_V=\vec 0_W$ wird $\vec 0_V\in V$ auf $\vec 0_W\in W$ abgebildet. Daher ist $\vec 0_V\in\text{Kern}(F)$. Da $f$ nach Voraussetzung injektiv ist, wird auf jedes Element der Wertemenge höchstens ein Element der Definitionsmenge abgebildet. Es gibt daher kein weiteres Element aus $V$, das auf $\vec 0_W$ abbildet. Das heißt $\text{Kern(F)}=\{\vec 0_V\}$.

Rückrichtung "$\Leftarrow$"

Wir nehmen an, es gibt 2 Elemente $\vec x_1,\vec x_2\in V$, die denselben Funktionswert haben, dann gilt:$$f(\vec x_1)=f(\vec x_2)\;\;\Rightarrow\;\;F\vec x_1=F\vec x_2\;\;\Rightarrow\;\;F(\vec x_1-\vec x_2)=\vec 0_W$$Da nach Voraussetzung Kern$(F)=\{\vec 0_V\}$ ist, muss $\vec x_1-\vec x_2=\vec 0_V$ bzw. $\vec x_1=\vec x_2$ gelten. Das heißt, es gibt keine zwei verschiedenen Elemente aus $V$, die dasselbe Bild haben. $f$ ist also injektiv.

Answer 2

https://www.mathelounge.de/128571/beweisen-abbildung-f-ist-injektiv-…

Findest du hier auch deine andern Fragen?

Bitte bei den einzelnen Fragen kommentieren und verlinken.

Comments

Hallo Lu,

da wäre es Aufgabe 1, falls du das meinst. :-)

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Gut so. Danke. Dann kommst du damit ja wahrscheinlich nun klar.