Zeige das die Menge eine Basis von R^3 bildet.

Question

Aufgabe: Zeige, dass die Menge

M:= { (1,1,1),(0,-1,2),(-2,0,4)} eine Basis für ℝ³ bildet.

Also ich habe schon die lineare Unabhängigkeit mit einem Gleichungssystem

1.α -2γ = 0

2. α- β = 0

3. α +2β +4γ = 0

Daraus folgt das α=β=γ= 0.

Wie weiße ich nun das Erzeugenensystem nach? Ich bin auf folgendes Gleichungssystem gekommen und weiß jetzt nicht weiter:

1.α -2γ = x
2. α- β = y
3. α +2β +4γ = z

Vielen Dank für die Hilfe. :)

Answer 1

Du darfst sicher benutzen, dass für n Vektoren eines n-dimensionalen Vektorraums eine der Bedingungen "linear unabhängig" oder "Erzeugendensystem" als Kriterium für eine Basis ausreicht. Wenn du trotzdem noch (zur Übung) das mit dem Erzeugendensystem nachweisen willst: Du kannst wie bei jedem LGS mit elementaren Umformungsschritten die Lösungen für α,β,γ bestimmen. Du kannst praktisch die gleichen Schritte durchführen wie beim Lösen des LGS mit Nullen auf der rechten Seite. Es handelt sich dann eben hier auf der rechten Seite nicht um konkrete Zahlen, sondern um Terme mit x, y und z.

Comments

Okay also bedeutet das es reicht aus, wenn ich die Terme so stehen lasse für x,y,z? In unseren Tutorien hatten wir meistens immer etwas konkretes wie α=x und das konnte man dann in die anderen Gleichungen einsetzten um x und z zu bestimmen.

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Du müsstest schon noch rechnen. Vervielfachen und Addieren von Gleichungen so, dass links Variablen wegfallen. Rechts stehen dann Summen von Vielfachen von x, y und z. Ich gebe dir gerne die Lösungsterme (die man mit Hilfsmitteln übrigens leicht über die inverse Matrix herausbekommt, aber das darfst du ja wahrscheinlich nicht einfach so benutzen): α=0,4x+0,4y+0,2z. β=0,4x-0,6y+0,2z und γ=-0,3x+0,2y+0,1z. Bitte rechne das aber selbst nach.

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Hat zwar ein bisschen gedauert, aber jetzt hab ich es. Vielen lieben Dank. 

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Sehr schön. Bei β bitte noch + vor die 1/5. Und natürlich gern geschehen.