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Hallo, liebe Community,



Aufgabe: Gegeben sei die Funktion f(x) = exp (sin(cos(ln(x)))), x > 0. Bestimmen
Sie alle Minima und Maxima von f ohne Anwendung der Differenzialrechnung!


Problem/Ansatz: Die Hoch- und Tiefpunkte kenne ich (Online-Rechner). Die Funktion habe ich gezeichnet und die Werte der Punkte stimmen überein. Allerdings habe ich absolut keinen Plan wie ich die Extrema ohne Ableitung bestimmen kann. Über eure Hilfe, freue mich. 

Vielen Dank im voraus!!

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Aloha :)

Die e-Funktion ist streng monoton wachsend. Wir finden daher ihre Minima dort, wo der Exponent minimal ist, und ihre Maxima dort, wo der Exponent maximal ist. Der Cosinus kann nur Werte aus dem Intervall \([-1|1]\) annehmen. In diesem Intervall ist der Sinus streng monoton wachsend. Das heißt, der Exponent ist dort minimal, wo \(\cos(\ln(x))=-1\) ist, und maximal, wo \(\cos(\ln(x))=1\). Wir haben also:

Mnimum, falls \(\cos(\ln(x))=-1\) bzw. \(\ln(x)=\pi+2\mathbb{Z}\pi\) bzw. \(x=e^{(2\mathbb{Z}+1)\pi}\)

Maximum, falls \(\cos(\ln(x))=1\) bzw. \(\ln(x)=2\mathbb{Z}\pi\) bzw. \(x=e^{2\mathbb{Z}\pi}\)

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zunächst einmal vielen vielen Dank für deine Hilfe!

HP ( 1/2,31)

TP (0,04/ 0,43)

Wären dann diese Extrema korrekt? 


Das sind nur 2 möglche Extrema, es gibt unendlich viele. Der maximale y-Wert ist bei allen Maxima gleich, ebenso der minimale y-Wert. Aber es gibt unendlich viele Stellen x, an denen die Maxima bzw. Minima auftauchen. Schau mal auf die 3 Beispiel-Abbildung und vor allem auf die x-Achse:

~plot~ exp(sin(cos(ln(x)))) ; [[0|2|0|3]] ~plot~

~plot~ exp(sin(cos(ln(x)))) ; [[0|0,2|0|3]] ~plot~

~plot~ exp(sin(cos(ln(x)))) ; [[0|0,02|0|3]] ~plot~

ah okay stimmt!

Wie schreibe ich denn dann formal auf welche Extrema existieren, wenn ich alle bestimmen soll?

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