Differentialgleichung, Trennung der Veränderlichen

Question

Ich sitze gerade an meiner Hausübung, aber komme nicht weiter. Vielleicht könnt ihr einen Blick darauf werfen:

Ein sehr einfaches Modell für Zellwachstum ist durch die Fisher Gleichung
$$\partial_{t} \rho-k\left(\partial_{x x} \rho+\partial_{y y} \rho\right)=c \rho(1-\rho)$$
mit $k>0, c>0$ gegeben. Seien die Zellen anfänglich innerhalb eines Kreises mit Radius $R_{0}$ konzentriert:
$$\rho(t=0)=\left\{\begin{array}{ll} {1,} & {\sqrt{x^{2}+y^{2}}<R_{0}} \\ {0,} & {\sqrt{x^{2}+y^{2}} \geq R_{0}} \end{array}\right.$$
dann ist eine (grobe) Näherung für die Lösung:
$$\rho(t) \approx\left\{\begin{array}{ll} {1,} & {\sqrt{x^{2}+y^{2}}<R(t)} \\ {0,} & {\sqrt{x^{2}+y^{2}} \geq R(t)} \end{array}\right.$$
Dabei ist der Frontradius $R(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ die Lösung der Differentialgleichung
$$\dot{R}=w-\frac{k}{R}$$
mit $w=2 \sqrt{k c}$

a) Klassifizieren Sie die Fisher Gleichung (7.1) und die Differentialgleichung (7.2) für den Frontradius jeweils in den Kategorien: partiell/gewöhnlich, linear/nichtlinear, autonom/zeitabhängig, Ordnung, skalar/system.

b) Geben Sie eine Formel für die Zeit in Abhängigkeit des Radius $t(R)$ an. Wenden Sie dafür Trennung der Veränderlichen auf Gleichung ( 7.2) an.

Hinweis 7.1: Sie müssen die Formel in Aufgabenteil b) nicht nach $R$ auflösen.

Hinweis 7.2: Benutzen Sie in Teil b) $\frac{R}{w R-k}=\frac{1}{w}+\frac{k}{w} \frac{1}{w R-k}$.

Ansatz:

Für a) habe ich partiel, linear, autonom, 2. Ordnung, skalar für Fisher gewöhnlich, 1. Ordnung für die DFG.

Bei der b) komme ich nicht weiter.

Answer 1

Hallo

bei b einfach die Dgl durch Trennung der Variablen lösen beim integrieren hilft (wR-k)=u, du=wdR oder ein Integralrechner im netz.

Gruß lul