Funktion aufstellen anhand von Punkten

Question

Stellen Sie die Funktionsgleichung einer kubischen Funktion f mit folgenden Eigenschaften auf.

Die Punkte (0|0) und (4|-32) sind Hochpunkte bzw. Tiefpunkte.

Answer 1

Hallo,

kubische Funktion

f(x) = ax³+bx²+cx +d

1.Ableitung

f´(x) = 3ax² +2bx+c    

2.Ableitung

f``(x) = 6ax+2b      

 jetzt müsstet du alleine weiterkommen, Punkte einsetzen .....

Comments

Ich komme dennoch nicht weiter.

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die Punkte sind Lösungen der Funktion

(0|0)     0= a*0³+b*0²+c*0+d         d=0

Hochpunkt : erste Ableitung benutzen

(0|0)     0= 3a*0³ +2b*0+c             c=0

wiederholen mit (4|-32)

            -32= a*4³+b*4² +c*4+d

bedingung für min.

                0= 3*a*4²+2*b*4+c          nun hat man vier Gleichungen mit 4 unbekannnten

kannst du es jetzt lösen?

         Zur Kontrolle: f(x) =x³-6x²  

Answer 2

Ansatz: f(x) = a*x³ + b*x²

Bedingungen: f(4)=-32 und f'(4)=0.

Answer 3

Aloha :)

Die Gesuchte ist eine Parabel 3-ten Gerades:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$$$f''(x)=6ax+2b$$

Bei $x=0$ und bei $x=4$ hat die Funktion Extrema, das heißt die erste Ableitung an diesen Stellen ist gleich Null:

$$0\stackrel{!}{=}f'(0)=3a\cdot0^2+2b\cdot0+c\quad\Rightarrow\quad \underline{c=0}$$$$0\stackrel{!}{=}f'(4)=3a\cdot4^2+2b\cdot4+0=48a+8b\quad\Rightarrow\quad \underline{b=-6a}$$

Wir setzen $c=0$ und $b=-6a$ in die Funktionsgleichung ein

$$f(x)=ax^3-6ax^2+d=a(x^3-6x^2)+d$$

und setzen die beiden Punkte $(0|0)$ und $(4|-32)$ ein:

$$0=f(0)=a(0^3+6\cdot0^2)+d=d\quad\Rightarrow\quad \underline{d=0}$$$$-32=f(4)=a(4^3-6\cdot4^2)=-32a\quad\Rightarrow\quad \underline{a=1}$$

Damit haben wir die Gesuchte gefunden:$$f(x)=x^3-6x^2$$

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f₁(x) = x³-6·x²Zoom: x(-3…8) y(-40…5)