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Stellen Sie die Funktionsgleichung einer kubischen Funktion f mit folgenden Eigenschaften auf.

Die Punkte (0|0) und (4|-32) sind Hochpunkte bzw. Tiefpunkte.

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Hallo,

kubische Funktion

f(x) = ax³+bx²+cx +d

1.Ableitung

f´(x) = 3ax² +2bx+c    

2.Ableitung

f``(x) = 6ax+2b      

 jetzt müsstet du alleine weiterkommen, Punkte einsetzen .....

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Ich komme dennoch nicht weiter.

die Punkte sind Lösungen der Funktion

(0|0)     0= a*0³+b*0²+c*0+d         d=0

Hochpunkt : erste Ableitung benutzen

(0|0)     0= 3a*0³ +2b*0+c             c=0

wiederholen mit (4|-32)

            -32= a*4³+b*4² +c*4+d

bedingung für min.

                0= 3*a*4²+2*b*4+c          nun hat man vier Gleichungen mit 4 unbekannnten

kannst du es jetzt lösen?

         Zur Kontrolle: f(x) =x³-6x²  

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Ansatz: f(x) = a*x3 + b*x2

Bedingungen: f(4)=-32 und f'(4)=0.

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Aloha :)

Die Gesuchte ist eine Parabel 3-ten Gerades:f(x)=ax3+bx2+cx+df(x)=ax^3+bx^2+cx+df(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+cf(x)=6ax+2bf''(x)=6ax+2b

Bei x=0x=0 und bei x=4x=4 hat die Funktion Extrema, das heißt die erste Ableitung an diesen Stellen ist gleich Null:

0=!f(0)=3a02+2b0+cc=00\stackrel{!}{=}f'(0)=3a\cdot0^2+2b\cdot0+c\quad\Rightarrow\quad \underline{c=0}0=!f(4)=3a42+2b4+0=48a+8bb=6a0\stackrel{!}{=}f'(4)=3a\cdot4^2+2b\cdot4+0=48a+8b\quad\Rightarrow\quad \underline{b=-6a}

Wir setzen c=0c=0 und b=6ab=-6a in die Funktionsgleichung ein

f(x)=ax36ax2+d=a(x36x2)+df(x)=ax^3-6ax^2+d=a(x^3-6x^2)+d

und setzen die beiden Punkte (00)(0|0) und (432)(4|-32) ein:

0=f(0)=a(03+602)+d=dd=00=f(0)=a(0^3+6\cdot0^2)+d=d\quad\Rightarrow\quad \underline{d=0}32=f(4)=a(43642)=32aa=1-32=f(4)=a(4^3-6\cdot4^2)=-32a\quad\Rightarrow\quad \underline{a=1}

Damit haben wir die Gesuchte gefunden:f(x)=x36x2f(x)=x^3-6x^2

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f1(x) = x3-6·x2Zoom: x(-3…8) y(-40…5)

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