Berechnen Sie das charakteristische Polynom XA(t)

Question

Sei

A:= $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -3 & 3 & 3 \\ 9 & -6 & 0 \end{pmatrix}$ ∈ ℝ ^2×2

Berechnen Sie das charakteristische Polynom   _XA(t)

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Hallo

was ist deine Frage? weisst du nicht was das char. Pol einer Matrix ist?  dann sieh in Skript oder wiki nach .Kannst du die Det einer 3 mal 3 Matrix nicht bestimmen? Das ist nur rechnen.

Gruß lul

Answer 1

Aloha :)

$$\text{det}\left(\begin{array}{c}1-\lambda & 0 & 2\\-3 & 3-\lambda & 3\\0 & -6 & -\lambda\end{array}\right)=(1-\lambda)\text{det}\left(\begin{array}{c}3-\lambda & 3\\-6 & -\lambda\end{array}\right)+3\text{det}\left(\begin{array}{c}0 & 2\\-6 & -\lambda\end{array}\right)$$$$=(1-\lambda)(\lambda^2-3\lambda+18)+3(0+12)=\lambda^2-3\lambda+18-\lambda^3+3\lambda^2-18\lambda+36$$$$=-\lambda^3+4\lambda^2-21\lambda+54$$

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Danke erst mal.

Weisst du auch wie man die Eigenwerte von A bestimmt?

Kannst du vielleicht den anstatz erklären?

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Die Eigenwerte $\lambda$ einer Matrix $A$ sind ja definiert über:$$A\vec x=\lambda\vec x$$Das kann man umschreiben zu:

$$A\vec x-\lambda\vec x=\vec 0\quad\text{bzw.}\quad(A-\lambda\cdot E)\cdot\vec x=\vec 0$$Da die Eigenvektoren $\vec x$ ungleich $\vec 0$ sein müssen, kann die Gleichung nur erfüllt sein, wenn die Determinante von $A-\lambda\cdot E$ gleich 0 wird. Daher habe ich zur Bestimmung der Eigenwerte oben in meiner Antwort den Wert $\lambda$ auf der Hauptdiagonalen abgezogen.

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. In deinem Fall also:$$-\lambda^3+4\lambda^2-21\lambda+54\stackrel{!}{=}0$$Du kannst eine Nullstelle, nämlich $\lambda=3$ erraten und dann das Polynom durch $(\lambda-3)$ dividieren. Das liefert dann:

$$-(\lambda-3)(\lambda^2-\lambda+18)=0$$Die Parabel in der Klammer hat keine reelle Lösung mehr, sondern nur 2 komplexe Lösungen. Der einzige reelle Eigenwert ist daher $\lambda=3$. Wenn du auch die komplexen Eigenwerte mit angeben sollst, kannst du die pq-Formel nutzen und findest noch die beiden komplexen Nullstellen:$$\lambda=\frac{1}{2}\pm\frac{i}{2}\sqrt{71}$$Damit hättest du dann alle 3 Eigenwerte gefunden.

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Danke. Vielen danke für detaillierte erklärung

Würdest Du diese Aufgabe dir mal anschauen?

liebe grüße

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Ich meinte diese Aufgabe

https://www.mathelounge.de/689579/zeigen-sie-dass-die-determinante-p…

Answer 2

wie heißt denn die Matrix nun?

a13=9 oder a13=0 (so gerechnet von Tschakabumba)

Die Angabe lautet auf

$A^T \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-\ell + 1&-3&9\\0&-\ell + 3&-6\\2&3&-\ell\\\end{array}\right)$

das wird nähmlich etwas schöner

{-2 A^T(1)/(1-l)+A^T(3)}

$A^T_3=\left(\begin{array}{rrr}0&3 + \frac{6}{-\ell + 1}&-\ell - \frac{18}{-\ell + 1}\\\end{array}\right)$

{A^T(1), A^T(2), A₃^T(1) - (3 + 6 / (1-l) A^T(2) / (3-l)}

$\left(\begin{array}{rrr}-\ell + 1&-3&9\\0&-\ell + 3&-6\\0&0&-\ell\\\end{array}\right)$

Comments

Was ist der unterschied zwischen deinem Lösungsweg und der von n Tschakabumba

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ich bringe die Matrix, die Du angeben hast auf eine Dreiecksmatrix, Tschakabumba nimmt eine andere- sie unterscheiden sich an der angegebenen Stelle...

Ich bekomme die Eigenwerte λ=0,3,1