Habe ich es richtig gemacht? Beweis UVR

Question

Aufgabe:

V = ℝ[X] Rolle Polynome

U = { f(x) ∈ V | f(1) = f(2) = 0 }

U ein UVR von V ?

Meine Lösung:

Axiom 1: f(0) = 0, f(0)∈U

Axiom 2: Sei f(x)∈U und h(x)∈U

mit f(1) = f(2) = 0 und h(1) = h(2) = 0

Weiter sei: s(x) = f(x)+h(x)

für x=1 gilt:   s(1) = f(1) + h(1)

                           =  0    + 0     = 0

für x=2 gilt:   s(2) = f(2) + h(2)

                           =  0    + 0    = 0

s(x)∈U

Axiom 3: Sei f(x)∈U und λ∈ℝ

Setze c(x) = (f(x*λ)) mit f(1) = f(2) = 0

Dann gilt: c(x) = f(x*λ) = λ* f(x)

für x=1 folgt:

        c(1) = λ* f(1) = λ*0 = 0

für x=2 folgt:

       c(2) = λ* f(2) = λ*0 = 0

c(x)∈U

Somit ist U ein UVR von V.

Ist das so richtig? Bin dankbar für jede Antwort!!

Answer 1

Hallo

 1 und 2 sind richtig, falsch hast du 3 aufgeschrieben , es geht NICHT um f(x*λ) das wäre ja auch falsch, sondern um λ*f(x)

  also λ*f(1)=λ*f(2)=λ*0=0

auch in 2 kannst du immer s(1)=s(2)=0 zeigen und nicht einzeln für 1 und 2

Gruß lul

Answer 2

Also, tut mir leid, aber Aufgabenstellung und Lösung ist etwas dünn, würde ich sagen.

V = Menge aller Polynome, die einen Vektorraum bilden; Soweit OK.

Aber wie sieht f(x) aus? Ist es auch ein Polynom? Es bräuchte noch eine zweite, ähnliche Funktion g(x).

Wenn dann gilt: f(x) +g(x) =h(x)

h(x) - bei dir s(x) - € U wenn h(x) wieder ein Polynom ist. Der Untervektorraum muss quasi der Addition "standhalten", so daß der UV nicht verlassen wird

Was du gemacht hast, f(0) =0 zeigt, dass der Nullvektor Teil des Vektorraums ist. Danach hast du als "Beweis" lediglich Zahlen eingesetzt. Zahlen einsetzen allein ist leider kein gültiger Beweis!