Uneigentliches Integral Lösung richtig?

Question

$$\text {Für welche }a,b\in\mathbb{R_{\geq 1}} \cup \{{\infty}\} \text { ist das Integral} \\ \int_{a}^{b} \frac{2x}{x^2-1}dx \\ \text {definiert bzw. konvergiert als uneigentliches Integral}$$

Meine Lösung:

$$\int_{a}^{b} \frac{2x}{x^2-1}dx = ln(b^2-1) - ln(a^2-1) \\ \text {Also folgt durch Definitionsbereich von ln, das Integral ist definiert für} \\ f:(1,\infty) \rightarrow \mathbb{R}, x \rightarrow \frac{2x}{x^2-1} \\ [δ,ε]\in(1,\infty), c\in(1,\infty)\\ \int_{a}^{c} \frac{2x}{x^2-1}dx = \lim\limits_{δ\to1} \int_{δ}^{c} \frac{2x}{x^2-1}dx = \lim\limits_{δ\to1} (ln(c^2-1) - ln(δ^2-1)) = \infty \\ \int_{c}^{b} \frac{2x}{x^2-1}dx = \lim\limits_{ε\to\infty} \int_{c}^{ε} \frac{2x}{x^2-1}dx = \lim\limits_{ε\to\infty} (ln(ε^2-1) - ln(c^2-1)) = \infty \\$$

Hätte mir das gerne von jemanden bestätigt bzw. aufgezeigt wenn es falsch ist, warum es so ist.

Bin mir bei dem ganzen vorgehen noch sehr unsicher.

Comments

Stammfunktion von 1/x ist ln(|x|), nicht ln(x).

Arrrgh a,b∈ℝ_≥∪{∞}, da kann man auch ln(x) als Stammfunktion verwenden.

Answer 1

Aloha :)

Deine Überlegungen sind richtig. Du hast jedoch den Sonderfall $a=b=1$ übersehen:$$\int\limits_1^1\frac{2x}{x^2-1}dx=0$$