Aloha :)
Die kanonische Basis für die untersuchten Polynome vom Grad \(d+1\) ist:$$E=(e_0,e_1,e_2,\ldots,e_d)=(1,x,x^2,\ldots,x^d)$$Wir sollen untersuchen, ob das geordnete Tupel$$T=(t_0,t_1,t_2,\ldots,t_d)=(1,(x-b),(x-b)^2,\ldots,(x-b)^d)$$ ebenfalls eine Basis für die Polynome vom Grad \(d+1\) bildet.
Da die Exponenten aller \(t_i\) unterschiedlich sind, können sie nicht als Linearkombination voneinander dargestellt werden, d.h. alle \(t_i\) sind linear unabhängig voneinander. Die Elemente \(e_n\) von \(E\) können wie folgt als Linearkombination der Elemente \(t_i\) von \(T\) ausgedrückt werden:$$e_n=x^n=(\,(x-b)+b\,)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}(x-b)^{n-k}\cdot b^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}b^k\cdot t_{n-k}$$Ein beliebiges Polynom vom Grad \(d+1\) hat daher die Darstellungen:$$p(x)=\sum\limits_{n=0}^d a_n\,x^n=\sum\limits_{n=0}^d a_n\,e_n=\sum\limits_{n=0}^d a_n\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}b^k\cdot t_{n-k}$$Daher ist \(T\) ebenfalls eine Basis.
