Sind die drei Vektoren eine Basis des ℝ^3 und wenn ja, warum?

Question

Ist \(\{\left(\begin{matrix}2.5\\0\\0\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0\\2\\0\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0\\0\\3\end{matrix}\right)\}\) eine Basis des \(\mathbb{R}^3\) und wenn ja, warum?

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Vgl. kanonische Basis.

Answer 1

Da die drei Vektoren linear unabhängig sind, sind sie eine Basis des \(\mathbb R^3\).

\(\begin{pmatrix}2.5\\0\\0\end{pmatrix}=2.5\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\quad,\quad\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\quad,\quad\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}=3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\)

Comments

Das heißt also, dass die Vektoren für eine Basis nur linear unabhängig sein müssen? Danke, voll korrekt von dir!

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Das heißt also, dass die Vektoren für eine Basis nur linear unabhängig sein müssen?

Nein, die Vektoren einer Basis müssen linear unabhängig sein und ein Erzeugendensystem des Vektorraums bilden.

Aber in einem Vektorraum mit der Dimension n ist eine linear unabhängige Menge von n Vektoren immer "automatisch" auch ein Erzeugendensystem.