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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die drei Vektoren b1:=(0 1 2), b2:=(2 0 2), b3:=(−3 0 1) eine Basis des R hoch 3 bilden. Wir bezeichnen diese mit B.


Problem/Ansatz:

Welchen Weg kann man einschlagen um die Aufgabe zu lösen?

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Wenn die Determinante aus den drei Vektoren ungleich Null ist, sind die Vektoren linear unabhängig. Drei linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis des \(\mathbb R^3\).

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Mit Sarrus'scher Regel:

D=0·0·1+2·0·2+(-3)·1·2-2·0·(-3)-2·0·0-1·1·2=0+0-6-0-0-2=-8≠0

Die Vektoren sin linear unabhängig und bilden eine Basis des \(\mathbb R^3\).

von 1,2 k

Wie würde das ausgerechnet aussehen?

Darfst du denn mit Determinanten arbeiten?

Sonst musst du untersuchen, ob die Bedingung für lineare Abhängigkeit erfüllt ist.

Zeig doch erst einmal, wie du es selbst lösen würdest.

@MontyPython, hallo, da ich gerade selber bissl für das Thema lerne und übe, dachte ich mische mich mal ein und vll ist ja meine Vorgehensweise auch richtig. :)

Ich würde den NullVektor , jeweils als Linearkombination der Vektoren b1,b2 und b3 darstellen: xb1+yb2+zb3=0, hieraus würde ich ein lineares Gleichungsystem erstellen und anschließend mit dem Gaußverfahren für x=y=z=0 erhalten und somit die lineare unabhängigket bewiesen bekommen? Sprich b1,b2 und b3 bilden eine Basis?

@2345

x=y=z=0 ist ja immer eine Lösung.

Wenn x=y=z=0 die einzige Lösung ist, hast du Recht.

Möglich wäre auch zu gucken, ob zwei Vektoren linear unabhängig sind und dann den dritten als Linearkombination der beiden zu beschreiben.

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