0 Daumen
166 Aufrufe

Aufgabe:

x * e = 15

eigentlich is es mir vollkommenmd egal wie man eslöst ich werde nach einer Rechnung verstehen.

vor von
ich wĂŒrde dies gern mit dem newton verfahren machen,

Ach, auf einmal...

Davon war vorhin noch keine Rede.

Wenn du es mit dem Newton-Verfahren machen möchtest - tu es doch einfach.

Wenn du das Newton-Verfahren nicht kannst, ist dein Wunsch vielleicht nicht die beste Wahl. Dann könntest du die Lösung immer noch mit Intervallhalbierung eingrenzen.

3 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Das Newton-Verfahren eignet sich zur Bestimmung von Nullstellen einer Funktion. Daher schreiben wir$$x\cdot e^x=15$$in Form einer Funktion$$f(x)=x\cdot e^x-15$$und suchen ihre Nullstelle(n).

Beim Newton-Verfahren startet man mit einer SchĂ€tzung \(x_0\) fĂŒr die Nullstelle. FĂŒr diesen Punkt \(x_0\) berechnet man die Tangente an die Funktion \(f(x)\), das heißt$$t_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$und prĂŒft, wo diese Tangente die \(x\)-Achse schneidet, indem man sie gleich \(0\) setzt und nach \(x\) auflöst:

$$\left.f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)\stackrel{!}{=}0\quad\right|\;-f(x_0)$$$$\left.f'(x_0)\cdot(x-x_0)=-f(x_0)\quad\right|\;:f'(x_0)$$$$\left.x-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\quad\right|\;+x_0$$$$\left.x=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}\quad\right.$$Dieses \(x\) nimmt man als neuen NĂ€herungswert fĂŒr die Nullstelle. Diese Berechnung wiederholt man so lange, bis die Nullstelle hinreichend genau bestimmt wurde. Zusammengefasst heißt das:$$\boxed{x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\quad;\quad x_0=\mbox{Startwert}}$$In dem konkreten Fall ist$$f'(x)=e^x+x\cdot e^x$$und die Iterationsschritte im Newton-Verfahren lauten:$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n\cdot e^{x_n}-15}{e^{x_n}+x_n\cdot e^{x_n}}=x_n-\frac{x_n-15\cdot e^{-x_n}}{1+x_n}=\frac{x_n^2+15\cdot e^{-x_n}}{1+x_n}$$Ausgehend vom Startwert \(x_0=2\) konvergiert die Folge sehr schnell:$$x_0=2$$$$x_1=2,01000975$$$$x_2=2,009943562$$$$x_3=2,009943559$$

vor von 26 k

Könntest du dies mir auch mit der lamberschen W Funktion einmal darstellen, bitte.

Woher wusstest du das der Startwert 2 sein muss?

Du kannst doch sicher

1 * e^1 < 3
2 * e^2 < 18
3 * e^3 < 81

abschĂ€tzen. Wenn ja dann macht es vermutlich sinn als erstes rund um die 2 zu testen oder nicht?

Aber die Werte können doch auch negativ sein?

Wenn x negativ ist kann dann ein Wert von 15 herauskommen der ja positiv ist?

Nein aber wie kann ich hier diesen Startwert bestimmen fĂŒr das Newton Berfahren:

e^x -2x = -3

Da der Graph vom II in den I Quadranten verlĂ€uft könntest du mal mit dem Minimum anfangen und schauen ob das ĂŒberhaupt unter -3 liegt. Das wĂŒrde ich rein gefĂŒhlsmĂ€ĂŸig verneinen.

Also wĂŒrde ich vermuten das die Gleichung keine Lösung hat.

f(x) = e^x - 2·x
f'(x) = e^x - 2 = 0 --> x = LN(2) = 0.6931

f(LN(2)) = 0.6137 > 0 → Die Funktion hat also nicht mal Nullstellen.

Ups ich meine 2 hoch x

Über den Startwert \(x_0=2\) habe ich gar nicht so viel nachgedacht. Ich habe grob ĂŒberschlagen, dass \(e\approx 3\) ist. Dann ist \(2\cdot3^2\approx18\). Ein negativer Startwert wĂ€re Unsinn, weil die e-Funktion immer \(>0\) ist, muss \(x>0\) sein, damit das Produkt \(15\) werden kann. Das Newton-Verfahren konvergiert sehr schnell gegen eine Nullstelle und hĂ€tte bei dieser konkreten Aufgabe vermutlich auch mit negativen Startwerten funktioniert. Das habe ich aber nicht geprĂŒft.

Das Lambertsche Verfahren kenne ich nicht... habe es auch noch nie gebraucht. Wenn du es dringend benötigst, kann ich mir das aber mal anlesen.

Ja das lambersche Verfshrne wÀre toll

+2 Daumen

x * e^ x = 15

x = lambertW(15)

x ≈ 2.009943559

vor von 19 k

Danke aber wie kommst du mit w(15) auf die Zahl?

Ich habe dazu die Funktion "lambertW()" meines CAS benutzt; es gibt auch Taschenrechner, die diese Funktion kennen. Die Lambertsche W-Funktion ist die Umkehrung der Funktion y=x*e^x. Der Zugriff auf ihre Werte erfolgt ĂŒber Tabellen oder rechnergestĂŒtzte Hilfsmittel. Mehr dazu findest du zum Beispiel hier:

https://kilchb.de/faqmath3.php

+1 Daumen

EDIT: Originalfrage war "Aufgabe: x * e^x  = 15 Keine Anhung wie ich dies lösen soll?" Hier die Antwort darauf:

Das geht nur mit einem NÀherungsverfahren oder mit einem grafikfÀhigen Taschenrechner oder mit CAS.


PS: Ist das die Originalaufgabe?

vor von 11 k

Ja da steht ich soll es nÀherungsweise berechnen?

Kannst du dann mal die vollstĂ€ndige Aufgabe einschließlich des Stoffzusammenhangs mitteilen?

da gibt es nichts

@Gast az0815

UrsprĂŒnglich hatte er gefragt, wie man die Gleichung löst. Nach meiner Antwort

Das geht nur mit einem NÀherungsverfahren oder mit einem grafikfÀhigen Taschenrechner oder mit CAS.


PS: Ist das die Originalaufgabe?

hat er die plötzlich die Fragestellung abgeÀndert in den Wusch, das mit dem Newton-Verfahren zu lösen.

ja weil ihr fragt und keine antowrt gibttt

Nachdem du deine Fragestellung noch mal so verÀndert hast:

eigentlich is es mir vollkommenmd egal wie man eslöst ich werde nach einer Rechnung verstehen.


Es is mir vollkommenmd egal ob du vielleicht jemand findest der eslöst ich werde es nichttun.

Gute Nacht.

Bevor ich wirklich zu Bett gehe:

Du hast den Titel NOCHMAL umformuliert, diesmal in

expoentialgleichungen..... mit dem Newton verfahren/lambersches verfahren

Die beiden Rechtschreibfehler in dem Wort "Exponentialgleichungen" sind noch drin.

Dass du jetzt noch ein zweites Verfahren (neben Newton) aus dem Ärmel schĂŒttelst (der Mann heißt ĂŒbrigens nicht Lamber) ist schon dreist. Eine stĂ€ndige VerĂ€nderung des Themas bzw. der Fragestellung kommt bei potentiellen Antwortgebern meist nicht so gut an. Aber wie gesagt: Ich bin jetzt raus.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community