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Aufgabe:

Ich möchte die folgende Funktion: f(x) = e^{x} +x deren Nullstelle berechnen:

0 = e^x + x

Nun komme ich nicht weiter....

Also muss ich mich numerisch daran annähern und dies würde ich gerne mit der Lambertschen W- Funktion lösen

-w(1) ist die Lösung und wie bekomme ich ohne jegliche Rechner, die Dezimalzahl raus?

von

Warum nimmst du dann die gewünschte Funktion nicht einfach und versuchst einen Ansatz?

Ob W(1) überhaupt rational ist?

Ja wie bekomme ich die W(1) gelöst ist ja keine elementare Funktion

2 Antworten

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Die W-lambert Funktion ist auch nur eine Potenzreihe der Form

$$ W(x)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-k)^{k-1}}{k!}\cdot x^k=x-x^2+\frac{3}{2}x^3-\frac{8}{3}x^4+\frac{125}{24}x^5+... $$ Entwicklungspunkt x=0. Diese Reihe hat aber nur einen Konvergenzradius von 1/e, also zu klein für x=1.

Du kannst aber auch zb mit dem Newton-Verfahren, Bisektion rangehen. Oder du approximierst deine Funktion. Es gilt nämlich

\( e^x=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\cdot x^k\approx 1+x+\frac{1}{2}x^2 \).

Also hat man \(x+e^x\approx 1+2x+\frac{1}{2}x^2\stackrel{!}{=}0\\x_1\approx -0,585786\\x_2\approx -3,41421 \).

\(x_1\) wäre hier eine gute Näherung.

von 7,9 k

Warum ist x1 eine gute annäherung.... ?

Ok, was das Wort ,,gut" heißt, kommt immer auf den Anwendungsfall an...

Aber, wenn du diesen Wert mal einsetzt, wirst du sehen, dass man zumindest schonmal eine Nachkommastelle mit 0 hat, also

\(e^{x_1}+x_1\approx -0,03\)

Warum ist x1 eine gute annäherung.... ?



Damit ist gemeint, dass x2 keine gute Näherung ist, weil die quadratische Näherungsfunktion dort schon deutlich von der e-Funktion abweicht.Unbenannt.JPG

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Eine Lösung - zwar mit Rechner, aber sehr einfach:

Man kann die Gleichung in der Form

x = - ex = F(x) schreiben

schreiben. Diese eignet sich für eine Iterationslösung. Setze x0:= 0 und xn+1:=F(xn)

So erhält man die Zahlenfolge x = < 0 , -1 , - 0.3679 , - 0.6922 , - 0.5005 , .... > , welche gegen die gesuchte Lösung konvergiert. Die Konvergenz ist allerdings nicht so gut. Mit der abgeänderten Iterationsfunktion

F(x) := (x - ex) / 2

erhält man eine deutlich schneller konvergierende Folge.

Fast "blitzartig" ginge es mit  F(x) :=  ( 3 x - 4 ex ) / 7

(aber darauf muss man auch zuerst mal kommen ...)

Mittels Newton-Verfahren erhält man allerdings noch bessere Konvergenz.

von

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