Ebenengleichung - Allgemeiner Ebenenpunkt

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Ebene, die sich so darstellt :

E = { \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ∈ R³  : x + y = 2 }

Problem/Ansatz:

Ziel ist es nun bezüglich dieser Ebene den allgemeinen Ebenenpunkt aufzustellen. Wie macht man das ?

Comments

... den allgemeinen Ebenenpunkt aufzustellen

Definiere 'allgemeiner Ebenenpunkt' - was soll das sein? Google kennt ihn auch nicht.

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Neben der Ebenengleichung ist in der Aufgabe zudem die Menge K gegeben. Die Ebene E schneidet K und man soll dann den Typ des Kegelschnittes bestimmen (affine Normalform der Quadrik)

Um dies zu tun muss ich die Ebenengleichung so "umformen", dass ich sie in K einsetzen kann. Genannt wird diese Umformung in der Lösung "Allgemeiner Ebenenpunkt".

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die Ebene ist: \(x + y = 2\) oder in vektorieller Schreibweise $$\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \cdot \vec x = 2 $$was das gleiche ist. Eine Form wie \(\vec x = \dots\) ist möglich, wenn Du das in eine Parameterform der Ebene umwandelst. Eine Möglichkeit wäre$$E: \space \vec x = \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$$

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Und wie wandle ich in Parameterform um?

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Und wie wandle ich in Parameterform um?

Das ist die Parameterform! die Parameter sind \(r\) und \(s\). Wenn Du eine Gleichung für die Quadrik hast, so setzte das \(\vec x\) dort ein.

Anschließend solltest Du eine (Kegelschnitt-)gleichung mit den Parametern \(r\) und \(s\) erhalten.

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Dass das was Sie mir als Lösung gegeben haben die Parameterform ist, ist mir klar :) ich hätte die Frage anders formulieren sollen...

Wie sind Sie von dem was in der Aufgabenstellung gegeben ist zu der Parameterform gekommen?

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Wie sind Sie von dem was in der Aufgabenstellung gegeben ist zu der Parameterform gekommen?

nehme eine Wert des Normalenvektors, der nicht 0 ist - also z.B.: \(n_x=1\) und rechne die passende Koordinate aus: $$(n_x=1) \cdot x = 2 \implies x = 2$$ die andern beiden Koordinaten sind \(=0\). Das gibt den ersten Punkt \((2,\,0,\,0)\). Dann brauchen wir noch zwei orthogonale Vektoren zu \(\vec n\). Dazu wähle zwei Koordinaten von \(\vec n\), von denen mindestens einer \(\ne 0\) ist, vertausche diese und negiere einen der beiden. Die dritte Koordinate setze zu 0. Das gibt \((1,\, -1,\, 0)\). Jetzt kannst Du das Kreuzprodut aus diesem Vektor und \(\vec n\) bilden. Das gibt den zweiten Richtungsvektor.

In Deinem Fall ist es wahrscheinlich von Vorteil, wenn die beiden Richtungsvektoren senkrecht zueinande stehen. Mit dem Kreuzprodukt hast Du das automatisch erreicht.

Answer 1

Vermutlich ist mit "allgemeiner Ebenenpunkt" die Darstellung des Ortsvektors eines beliebigen Ebenenpunkte gemeint, also die Parameterform der Ebenengleichung.

Dafür benötigt man lediglich drei Punkte der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen.

Bei der Ebene  x+y=2 wären dies z.B.

(2|0|0), (0|2|0) und (2|0|1).

Nimmt man den Ortsvektor von (2|0|0) als Stützvektor und die beiden Vektoren von diesem Punkt zu den beiden anderen Punkten als Spannvektoren, erhält man $$\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\0 \end{pmatrix}+r \begin{pmatrix} -2\\2\\0 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$

Comments

Ja sieht so aus, dass das damit gemeint ist!

Wie wählt man diese 3 Punkte ?

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Wie wählt man diese 3 Punkte ?

Da es drei Punkte der Ebene sein sollen wählt man sie natürlich so, dass sie die Ebenengleichung erfüllen.

Hier ist die Gleichung x+y= 2 (genauer: 1x + 1y + 0z = 2).

Daran sieht man schon mal, dass man für z alles Mögliche einsetzen kann, ohne dass dies einen Einfluss auf die entstehende Summe hat. Man muss für jeden Punkt nur x und y so wählen, dass x+y=2 gilt.

Solche Punkte sind z.B. (5|-3|...), (4|-2|...), (3|-1|...) usw. Mann muss nur aufpassen, dass die drei gewählten Punkte nicht auf einer Geraden liegen, deshalb habe ich oben zwei Punkte mit z=0 und einen mit z≠0 gewählt.