Parametrisierung des Kreises der durch alle kritischen Punkte geht und die Bogenlänge dieser Kurve.bestimmen

Question

Aufgabe:

1. Bestimmen Sie alle kritischen Punkte der Funktion f: R^2 → R, f(x, y) = (x − 1)x^2 + (y − 1)y^2
.Stellen Sie die Hessematrix von f auf und entscheiden Sie, ob es sich bei den kritischen
Punkten jeweils um eine lokale Maximalstelle, eine lokale Minimalstelle oder keine lokale
Extremalstelle handelt.
2. Bestimmen Sie die Parametrisierung des Kreises der durch alle kritischen Punkte geht
und berechnen Sie die Bogenlänge dieser Kurve.

Problem/Ansatz:

Die Kritische Punkte habe ich bestimmt: grad f(x,y)=(  3x^2-x , 3y^2-2y)

3x^2-2x=0 -> x = 0 oder x = 2/3

3y^2-2y= -> y = 0 oder y = 2/3

-> Kritische Punkte: (0,0) (2/3 , 0) (0 , 2/3)    (2/3 , 2/3)

Um das Art des Punktes zu bestimmen: grad^2f(x,y)=(6x-2  0                                                                                                                                                                                             6y-2   0)

danach Eigenwert berechnet dabei habe 0 und -2 -> lok. Maxi. (hier habe eine Frage ist das so richtig, weil ich ein 0 habe als EW und das hat ja kein Vorzeichen )

Bei 2 habe ich keine Ahnung wie ich anfangen kann. Ich bitte euch um Hilfe da es um Klausurvorbereitung geht

Answer 1

Hallo

 die 4 Punkte bestimmen ein Quadrat, also find den Mittelpunkt (1/3,1/3) und du hast den Kreis . wenn er in R^2 liegen soll. wenn in R^3 mit f(x,y)=z dann zuerst feststellen, ob die 4 Punkte in einer Ebene liegen. dann den Mittelpunkt durch Schnitt von 2 Sehenmittelsenkrechten. Entfernung zu 0 gibt den Radius und damit den Umfang.

Gruß lul

Comments

Man das ist so schlau die Idee mit dem Quadrat, auch in R^3 hast du auch schön erklärt danke dir Ich versuche das gleich schriftlich zu machen