Hallo,
Warum aber periodische Randbedingungen Anwendung finden soll ist mir noch nicht klar.
das heißt doch nichts anderes als dass die Kurve geschlossen ist. Somit ist der Endzustand der Kurve identisch zum Anfangszustand.
Du kannst für jedes Kurvenstück zwischen zwei Stützstellen \(i\) und \(i+1\) für jede Koordinate \(x\) und \(y\) ein Polynom 3.Ordnung (kubisch) ansetzen, inklusive der Ableitungen (hier für \(x\)):$$\begin{aligned}x(\tau) &= a_i\tau^3 + b_i\tau^2 + c_i\tau + x_i \\ x'(\tau) &= 3a_i\tau^2 + 2b_i\tau + c_i \\ x''(\tau) &= 6a_i\tau + 2b_i\end{aligned}$$Die freie Variable \(\tau\) ist so gewählt, dass sie zwischen zwei Stützstellen von \(0\) bis \(1\) läuft. An den Stützstellen soll nun sowohl die Kordinate, als auch die erste und zweite Ableitung zweier benachbarter Kurvenstücke überein stimmen. Daraus folgen dann drei Gleichungen:$$\begin{aligned} x(\tau =1) &= a_i+b_i+c_i+x_i = x_{i+1} \implies a_i+b_i+c_i = x_{i+1}-x_i\\ x_{i}'(\tau =1) &= x_{i+1}'(\tau =0) \implies 3a_i + 2b_i + c_i - c_{i+1} = 0 \\ x_{i}''(\tau =1) &= x_{i+1}''(\tau =0) \implies 6a_i + 2b_i - 2b_{i+1} = 0\end{aligned}$$und dies für jedes der Kurvenstücke, womit man neun Gleichungen für die neun Unbekannten bekommt. Beachte bitte, dass das Folgestück mit Index 2 wieder das mit Index 0 ist \((i=2)+1 \to 0\). In Matrix-Schreibweise sieht das dann so aus:$$\begin{pmatrix}1& 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 3& 2& 1& 0& 0& -1& 0& 0& 0\\ 3& 1& 0& 0& -1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 3& 2& 1& 0& 0& -1\\ 0& 0& 0& 3& 1& 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& -1& 0& 0& 0& 3& 2& 1\\ 0& -1& 0& 0& 0& 0& 3& 1& 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a_1\\ b_1\\ c_1\\ a_2\\ b_2\\ c_2\\ a_3\\ b_3\\ c_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1.5\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ -1.5\\ 0\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ -2\\ 0\\ 0\\ 2\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$man erhält zwei Gleichungssysteme einmal für \(x\) und einmal für \(y\). Die linke Matrix ist aber identisch, sie unterscheiden sich im Vektor der rechten Seite, deshalb stehen dort zwei Vektoren.
Die Lösungen sind:$$abc_x = \begin{pmatrix}-1.5\\ 3\\ 0\\ 0\\ -1.5\\ 1.5\\ 1.5\\ -1.5\\ -1.5\end{pmatrix}, \quad abc_y = \begin{pmatrix}0\\ -2\\ 2\\ 2\\ -2\\ -2\\ -2\\ 4\\ 0\end{pmatrix}$$Lassen wir das \(\tau\) über die drei Kurvenstücke von \(0\) bis \(3\) laufen, so erhält man z.B. für die X-Koordinate:$$x(\tau) = \begin{cases}-1,5 \tau^3 + 3 \tau^2 + x_0 & 0 \le \tau \lt 1 \\ -1,5(\tau-1)^2 + 1,5(\tau-1) + x_1 & 1 \le \tau \lt 2 \\ 1,5(\tau-2)^3 - 1,5(\tau-2)^2 - 1,5(\tau-2) + x_2 & 2 \le \tau \lt 3 \end{cases}$$für \(y\) entsprechend.
Das war der leichte Teil der Antwort. Nun möchtest Du als freien Paramter nicht \(\tau\), sondern die Bogenlänge \(t\). Oben in meinem Kommentar hatte ich das schon skizzert. Die Bogenlänge \(t\) kann man berechnen aus $$\begin{aligned} t &= \int_0^{\tau} \sqrt{\text d x^2 + \text d y^2} \\ &= \int_0^{\tau} \sqrt{\left( \frac {\text dx}{\text d \tau}\right)^2 + \left( \frac {\text d y}{\text d \tau}\right)^2} \, \text d\, \tau \\ &= \int_0^{\tau} \sqrt{x'^2(\tau) + y'^2(\tau)} \, \text d\tau\end{aligned}$$Die Ableitungen sind Polynome vom Grad 2. Das Quadrat ist dann i.A. ein Polynom vom Grad 4. Das steht unter der Wurzel und muss integriert werden. Lässt Du das z.B. Wolfram Alpha machen, so erhältst Du Ausdrücke über viele Zeilen. Anschließend musst Du diese Ausdrücke noch nach \(\tau\) umstellen, also eine Funktion \(\tau = f(t)\) daraus machen. Das geht mit hoher Wahrscheinichkeit gar nicht mehr analytisch ... Schlußendlich ist dann dieses \(f(t)\) für \(\tau\) in die Polynome einzusetzen, wodurch Du dann die gewünschten Funktionen \(x(t)\) und \(y(t)\) bekommst.
Bist Du sicher, dass die Aufgabenstellung so gemeint war?
Gruß Werner
