Dritte Wurzel aus negativer Zahl möglich oder nicht?

Question

Ich bin Kunde bei Matheretter und habe eine Frage zu dem Video G20 Wurzeln (Teil 3).

Dort wird die dritte Wurzel aus -27 berechnet mit x = -3, da (-3)·(-3)·(-3). Unter der Wurzel werden meines Wissens aber keine negativen Zahlen zugelassen.

Dass x^{3} = -27 trotzdem eine Lösung hat, wird meiner Meinung nach mit folgendem Trick gelöst: Das Minus wird vor die Wurzel gezogen "Minus 3. Wurzel aus 27".

Sonst alles Bestens. Weiter so!

Answer 1

Das hast du falsch verstanden. Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind immer zugelassen.

Du musst das so sehen: Die n-te Wurzel aus stellt dir die Frage: Welche Zahl a ergibt n-mal mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel?

z.B. 2te Wurzel aus 9. Welche Zahl ergibt zwei mal mit sich selbst multipliziert 9? Klar, das ist die 3, weil 3 * 3 = 9. Aber die 2te Wurzel aus -9 stellt dieselbe Frage. Welche Zahl ergibt zwei mal mit sich selbst multipliziert -9? Da gibt es keine! Denn (-3) * (-3) = 9 und 3 * 3 = 9. Man könnte ja (-3) * (+3) schreiben, das wäre -9, ABER (-3) und (+3) sind NICHT dieselbe Zahl. Also gibt es keine Zahl, die zwei mal mit sich selbst multipliziert -9 ergibt. Deswegen ist die 2te Wurzel aus -9 auch nicht definiert.

Wenn aber die 3te Wurzel aus -27 berechnet werden soll, stellt sich wieder die Frage: Welche Zahl ergibt DREI mal mit sich selbst multipliziert -27? Und dort gibt es eine Lösung. Denn (-3) * (-3) * (-3) = (+9) * (-3) = -27. Also hat die dritte Wurzel aus -27 eine Lösung.

Allgemein haben ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen immer eine Lösung, aber gerade Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht definiert.

Answer 2

Das ist so eigentlich nicht richtig.

Die n-te Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht definiert, völlig gleichgültig, welchen Wert n hat.

Richtig ist aber, dass die Gleichung

x³=-8

eine Lösung hat, anders als z.B. die Gleichung

x²=-4

Die Lösung der ersten Gleichung schreibt man aber als

$$ - \sqrt [ 3 ] { 8 } $$

und nicht anders.

Comments

"Das ist so eigentlich nicht richtig." -> Welche Aussage meinst du?

Dass die n-te Wurzel nicht definiert ist, höre ich zum ersten Mal (für n ungerade). 

Im Taschenrechner kann ich doch eingeben: (-8)^{1/3} und da kommt -2 raus.

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Was du in deinen Taschenrechner eingeben kannst, und was definiert ist, sind zwei unterschiedliche Hüte :-)
Auch wenn in diesem Fall tatsächlich die richtige Lösung herauskommt.

 

Die Verwendung der ungeraden Wurzeln negativer Zahlen verstößt außerdem gegen ein Potenzgesetz und ist deshalb meiner Meinung nach nicht sinnvoll. Natürlich kann man sie "zwanghaft" definieren und fordern, dass das entsprechende Gesetz für sie nicht gilt, aber ich sehe keinen Grund dazu.

Das Gesetz, das ich meine:

 

-2 = (-8)^1/3 = (-8)^2/6 = ((-8)²)^1/6 = 64^1/6 = +2

Offensichtlich gilt nicht -2=+2, also muss irgendwo ein Fehler vorliegen: da 1/3 und 2/6 aber genau denselben Zahlenwert repräsentieren und die Gültigkeit des Potenzgesetzes

x^a*b = (x^a)^b

meiner Meinung nach (und auch nach der Meinung der meisten Mathematiker) wichtiger ist, kann der Ausdruck (-8)^1/3 nicht definiert sein, da er dann zwei unterschiedlichen Werten entspräche.