1.)
Die allgemeine Gleichung für eine Wachstumsfunktion / Exponentialfunktion lautet: N(t)=N0⋅at
Wir wissen, dass nach 5h die Bakterienzahl auf 512000 gestiegen ist und der Anfangswert N0=500 ist, also können wir sagen: N(5)=512000
Diese Gleichung kann man nun ausführlich aufschreiben: 500⋅a5=512000 und diese Gleichung nach a (dem Faktor, den wir suchen) auflösen.
500⋅a5=512000
auf beiden Seiten durch 500 teilen
a5=1024
die 5. Wurzel auf beiden Seiten ziehen
a=4
Der Faktor mit dem die Bakterienanzahl pro Stunde zunimmt ist 4.
Wenn wir a=4 nun in die allgemeine Funktion einsetzen, dann haben wir die Funktion und können Aufgabe 2.) machen: N(t)=500⋅4t
2.)
Hier müssen wir die Funktion mit dem Dreifachen der Anfangszahl 500, also 1500 gleichsetzen: N(t)=1500
Jetzt müssen wir die Zeit rausfinden, indem wir 500⋅4t=1500 nach t umstellen:
500⋅4t=1500
auf beiden Seiten durch 500 teilen
4t=3
den Logarithmus auf beiden Seiten anwenden
ln(4t)=ln(3)
Logarithmusgesetze anwenden
t⋅ln(4)=ln(3)
auf beiden Seiten durch ln(4) teilen
t=ln4ln3≈0,792
Die Bakterienanzahl hat nach ca. 0,792h 1500 erreicht.