Extremwert und Optimierungsaufgabe: Flächeninhalt für Dreieck unter dem Graphen

Question

Aufgabe:

Dreieck unter dem Graphen

Dem Funktionsgraphen f(x)=−(x−2)^{2}+4 soll in dem über der x-Achse liegenden Teil ein rechtwinkliges Dreieck mit maximalem Flächeninhalt einbeschrieben werden, dessen Katheten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen.

Answer 1

Flächeninhalt eines Dreiecks:

$$A=\frac{g\cdot h}{2}$$

Die Grundseite wird bestimmt durch x, die Höhe durch f(x).

Du bildest also die Gleichung A(x) = x * f(x) und rechnest mithilfe der 1. Ableitung das Maximum aus.

Answer 2

Ecke E mit dem rechten Winkel auf der x-Achse bei (x;0).

Die anderen sind dann (x;y) und (0;0) .

Dann sind die Kathetenlängen x und y = -(x-2)^2 + 4

Für x aus [0;4].

Fläche  A(x) = 0,5*x*( -(x-2)^2 + 4 ) = -x^2 ( x-4) / 2

hat Ableitung  A'(x) = -x(3x-8)/2 .

Sinnvoller Kandidat für Max also bei

  x = 8/3 .

Mit A ' ' (8/3) = -4 < 0 , also dort Max.

maximale Fläche ist dann 120/27 = 4,74...