+1 Daumen
974 Aufrufe

Betrachten Sie folgende Funktionen:

1. \( f(x)=(x^3) - (3x^2) + 3x \)

2. \( \sqrt{1-x^2} \)

Wo in D max (f) ist f(x) streng monoton wachsend bzw. fallend?

Wo in D max (f) ist f(x) konvex bzw. konkav?

von

1 Antwort

0 Daumen

 

Ich fange mal an mit 

Wo in D max (f) ist f(x) streng monoton wachsend bzw. fallend ? 

Hier ist zu bestimmen, wo f ' (x) > 0 resp. < 0 ist.

1. f(x)=( x^3)-(3x^2)+3x          

f ' (x) = 3 x^2 - 6x + 3  = 3(x^2 - 2x + 1) = 3(x - 1)^2 immer ≥ 0. Somit monoton steigende Kurve 3. Grades

f '(x) = 0 für x = 1      Terrassenpunkt in T(1|0)

f(x) streng monoton steigend in M = {x| x Element R, x≠ 1}

 

 

2. f(x)= √(1 - x^2)

Das ist eine bekannte Funktionsgleichung. Ihr Graph ist die 'obere' Hälfte des Einheitskreises.

(Anm: Folgt direkt aus Pythagoras für P(x|y) auf Einheitskreis. x^2 + y^2 = 1^2 , y^2 = 1 - x^2. Für P(x|y) 'oberhalb' der x-Achse: y = √(1-x^2))

Hier weiss man ohne zu rechnen, dass Dmax = [-1,1]  und dass f(x) in ]-1,0[ streng monoton wächst und in ]0,1[ streng monoton fällt.

 


Wo in D max (f) ist f(x) konvex bzw. konkav ?

Bei konvexen Kurven liegen alle Punkte der Kurve, die sich zwischen den Schnittstellen von Kurve und Sekante befinden, unterhalb der Sekanten, bei konkaven oberhalb. vgl. Abb. in Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen

 

 

http://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen

 

Sogenannte Linkskurven sind konvex, Rechtskurven konkav.

In Linkskurven ist die 2. Ableitung positiv in Rechtskurven negativ.

1. f(x)=( x^3)-(3x^2)+3x       

Polynom 3. Grades mit f ' (x) = 3 x^2 - 6x + 3 somit

f '' (x) = 6x - 6 = 6 (x-1) 

6 (x -1) ≥ 0 falls x ≥ 1. -----> f(x) konvex in [1, unendlich [

 

6 (x -1) ≤ 0 falls x ≤ 1. -----> f(x) konkav in ] - unendlich, 1]

 

2. f(x)= √(1 - x^2)

Graf ist in ganz Dmax konkav, Also in [-1,1]. (denn die obere Hälfte eines Halbkreises ist eine Rechtskurve )

 

von 160 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community