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Aufgabe:

Berechne die Bogenlänge der Kurve

c(t)=(x(t)y(t)),0x(t)5 c(t) = \begin{pmatrix} x(t)\\y(t) \end{pmatrix} , 0 ≤ x(t) ≤ 5

wobei x=x(t) x = x(t) und y=y(t) y = y(t)  implizit durch y2=x3 y^2 = x^3 gegeben sind


Problem/Ansatz:

Die Bogenlänge allgemein für x(t)=(xy) x(t) = \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}  ist ja bestimmt als s=t1t2x2+y2dt s = \int\limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{x'^2 + y'^2 } dt , daher ich leite x x und y y ab, setze das ein und berechne das Integral. Wie funktioniert das jetzt aber wenn y y von x x abhängt?

Ich habe versucht für y y die Gleichung umzustellen: y=±x3,y=3x2 y = ± \sqrt{ x^3 }, y' = \frac{3*\sqrt{x}}{2} und für x=x,x=1 x = x, x' = 1 zu verwenden, komme damit aber nicht auf eine Lösung für das Integral.

Mein zweiter Ansatz wäre die Gleichung nach dem Hauptsatz für implizite Funktionen abzuleiten. Daher:

F(x,y)=x3y2 F(x, y) = x^3 - y^2

Fx=3x2 F_x = 3*x^2

Fy=2y F_y = - 2*y

y(x)=FxFy=3x22y y'(x) = - \frac{F_x}{F_y} = \frac{3*x^2}{2*y}

aber da wüste ich nicht was ich als x' verwende.

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Hallo

mach für x>0 einfach ne Parameter Darstellung daraus (t,t3/2) oder (t2,t2/3)

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Danke, das macht Sinn.. irgendwie bin ich da sehr auf der Leitung gestanden :D

Gruß mrJaeger

Wie genau kommt man auf die Paramter Darstellung?

Die Kurve ist implizit durch y2=x3 y^2 = x^3 gegeben. Daher setzt du x=t x = t und y=±t3/2=±x3 y = ± t^{3/2} = ± \sqrt{x^3} für 0t5 0 ≤ t ≤ 5

Ah okay habs verstanden danke

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