kanalquerschnitt quadratische funktion

Question

Kanalquerschnitt

Ein Regenwasserkanal hat den folgenden Querschnitt (Maße in cm)
a) Modellieren Sie eine quadratische Funktion, die die Kanalausnehmung abbildet.
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Querschnittsfläche mittels Integral.
c) Erklären Sie, warum ein Absenken der Kanalhöhe um $10 \%$ nicht eine Verringerung der Wasserdurchflussmenge um $10 \%$ zur Folge hat.

Problem/Ansatz:

Comments

Hallo maria.

Du hast inzwischen 33 Fragen gestellt und bisher bei keiner Fragen eine Antwort ausgezeichnet die dir geholfen hat. Wenn du etwas nicht verstanden hast solltest du gerne nochmal nachfragen oder ansonsten gerne auch eine Antwort als hilfreich auszeichnen.

Das dient auch den Antwortenden als Feedback, dass du dich mit der Antwort beschäftigt hast und sie verstanden hast.

Sowas dient dann auch den Antwortenden ihre Antworten immer weiter zu verbessern.

Answer 1

Aloha :)

Aus der Abbildung lesen wir die Punkte $(20|100)$ und $(80|100)$ ab. Die Parabel hat daher die Form:$$f(x)=a\cdot(x-20)(x-80)+100$$In der Mitte der $x$-Werte, also bei $x=50$, hat die Funktion ihr Minimum bei $y=20$. Also haben wir einen weiteren Punkt $(50|20)$. Aus diesem können wir $a$ bestimmen:$$20=f(50)=a\cdot30\cdot(-30)+100=-900a+100$$$$\quad\;\Rightarrow\;\;900a=80\;\;\Rightarrow\;\;a=\frac{4}{45}$$Die Funktion lautet daher:$$f(x)=\frac{4}{25}(x-20)(x-80)+100$$Diese können wir noch ausrechnen, um die Querschnittsfläche $F$ einfacher berechnen zu können:$$f(x)=\frac{4}{45}x^2-\frac{80}{9}x+\frac{2180}{9}$$$$F=\int\limits_{20}^{80}f(x)\,dx=\int\limits_{20}^{80}\left(\frac{4}{45}x^2-\frac{80}{9}x+\frac{2180}{9}\right)dx=\left[\frac{4}{135}x^3-\frac{40}{9}x^2+\frac{2180}{9}x\right]_{20}^{80}$$$$\phantom{F}=\frac{164\,800}{27}-\frac{89\,200}{27}=\frac{75\,600}{27}=2800$$Im letzten Teil solltest du dir überlegen, dass die Fläche nicht linear mit der "Tiefe" des Kanals wächst.