Aloha :)
Im ersten Schritt werden \(x\) und \(y\) vertauscht, das ergibt:$$x=\frac{1}{3}(y-4)^2-1$$Diese Gleichung musst du nun nach \(y\) umstellen:$$\left.x=\frac{1}{3}(y-4)^2-1\quad\right|\;+1$$$$\left.x+1=\frac{1}{3}(y-4)^2\quad\right|\;\cdot3$$$$\left.3(x+1)=(y-4)^2\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.\pm\sqrt{3(x+1)}=y-4\quad\right|\;+4$$$$\left.y=4\pm\sqrt{3(x+1)}\quad\right.$$Jetzt haben wir ein Problem. Die urpsrüngliche Funktion$$y=f(x)=\frac{1}{3}(x-4)^2-1$$ ist nur umkehrbar, wenn ihr Definitionsbereich wenigstens auf \(x\ge4\) oder auf \(x\le4\) eingeschränkt wird. Hintergrund ist, dass bei einer Funktion ein \(x\)-Wert keine 2 möglichen Funktionswerte \(f(x)\) bzw. \(y\)-Werte haben kann. Wir müssen uns also für \(+\) oder \(-\) voer der Wurzelfunktion entscheiden. Dazu brauchen wir die Definitionsmenge der ursprünglichen Funktion.
Zur Veranschaulichung nochmal als Grafik. Die Bildung der Umkehrfunktion erreicht man graphisch durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden \(y=x\). Das führt in der Abbildung auf den roten Zweig für \(x\ge4\) und auf den grünen Zweig für \(x\le4\). Die Umkehrfunktion kann der rote oder der grüne Zweig sein. Du kannst sonst noch eine Fallunterscheidung machen und beide Fälle getrennt auflisten.
~plot~ 1/3*(x-4)^2-1 ; 4+sqrt(3(x+1)) ; 4-sqrt(3(x+1)) ; x ; [[-2|20|-1,5|15]] ~plot~
