Umkehrfunktion der Funktion y = 1/3 (x-4)² -1

Question

Aufgabe:

Die Umkehrfunktion von y = 1/3 (x-4)² -1

Problem/Ansatz:

Muss man hier die zweite binomische Formel anwenden?

Answer 1

Aloha :)

Im ersten Schritt werden $x$ und $y$ vertauscht, das ergibt:$$x=\frac{1}{3}(y-4)^2-1$$Diese Gleichung musst du nun nach $y$ umstellen:$$\left.x=\frac{1}{3}(y-4)^2-1\quad\right|\;+1$$$$\left.x+1=\frac{1}{3}(y-4)^2\quad\right|\;\cdot3$$$$\left.3(x+1)=(y-4)^2\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.\pm\sqrt{3(x+1)}=y-4\quad\right|\;+4$$$$\left.y=4\pm\sqrt{3(x+1)}\quad\right.$$Jetzt haben wir ein Problem. Die urpsrüngliche Funktion$$y=f(x)=\frac{1}{3}(x-4)^2-1$$ ist nur umkehrbar, wenn ihr Definitionsbereich wenigstens auf $x\ge4$ oder auf $x\le4$ eingeschränkt wird. Hintergrund ist, dass bei einer Funktion ein $x$-Wert keine 2 möglichen Funktionswerte $f(x)$ bzw. $y$-Werte haben kann. Wir müssen uns also für $+$ oder $-$ voer der Wurzelfunktion entscheiden. Dazu brauchen wir die Definitionsmenge der ursprünglichen Funktion.

Zur Veranschaulichung nochmal als Grafik. Die Bildung der Umkehrfunktion erreicht man graphisch durch Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden $y=x$. Das führt in der Abbildung auf den roten Zweig für $x\ge4$ und auf den grünen Zweig für $x\le4$. Die Umkehrfunktion kann der rote oder der grüne Zweig sein. Du kannst sonst noch eine Fallunterscheidung machen und beide Fälle getrennt auflisten.

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f₁(x) = 1/3·(x-4)²-1f₂(x) = 4+√(3(x+1))f₃(x) = 4-√(3(x+1))f₄(x) = xZoom: x(-2…20) y(-1,5…15)

Comments

Danke für diese Klasse Antwort.

Könntest du mir vielleicht auch hiermit weiter helfen : Aufgabe:

Beweisen sie mit der vollständigen Induktion:

n/(4k²-1)=n/(2n)²-1
Problem/Ansatz:

Ich habe andere Induktionen gemacht und auch zum Ziel gekommen aber so einen Typ hatte ich noch nie. Komme da nicht weiter?

?

Answer 2

x und y vertauschen. Dann nach y auflösen.

Ergibt: y=√(3(x+1))+4.