Wie kommt man auf diese basisvektoren?

Question

ich sitze gerade an der Aufgabe b und habe auch die Lösungen dazu. Allerdings komme ich nicht darauf, wie man hier so einfach die zugehörigen Basisvektoren ausgewählt hat. Es wirkt so, als ob das offensichtlich wäre. Aber wie kommt man darauf?

Text erkannt:

Man betrachte die Matrix
$$A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & -2 & 2 & -3 \\ -2 & 4 & -3 & 4 \\ 3 & -6 & 5 & -7 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 4}$$
sowie die dazugehörige lineare Abbildung $f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f(x)=A \cdot x$
a) Man bestimme eine Basis von Kern( $f$ ) und eine Basis von Bild $(f)$
b) Man bestimme eine Basis $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ von $\mathbb{R}^{4}$ und eine Basis $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ von $\mathbb{R}^{3},$ so daß $f$ bezüglich dieser Basen die darstellende Matrix
$$M=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 4}$$
besitzt.
(2)
c) Man entscheide mit Begründung, ob eine lineare Abbildung $g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4}$ mit $\operatorname{Kern}(g)=\operatorname{Bild}(f)$ und $\operatorname{Bild}(g)=\operatorname{Kern}(f)$ existiert.

Aufgabe:

Im $\mathbb{R}^{4}$ sind in Abhängigkeit vom Parameter $t \in \mathbb{R}$ die Vektoren
$$u_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad u_{2}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \quad u_{3}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ -1 \\ t \end{array}\right), \quad u_{4}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 2 \\ t \end{array}\right), \quad u_{5}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 4 \\ -5 \end{array}\right)$$
gegeben; ferner seien $V=\left\langle u_{1}, u_{2}, u_{3}\right\rangle \subseteq \mathbb{R}^{4}$ und $W=\left\langle u_{3}, u_{4}, u_{5}\right\rangle \subseteq \mathbb{R}^{4} .$ Man
zeige, daß es genau eine lineare Abbildung
$f: V \rightarrow W \quad$ mit $\quad f\left(u_{1}\right)=u_{3}, \quad f\left(u_{2}\right)=u_{4} \quad$ und $\quad f\left(u_{3}\right)=u_{5}$
gibt, und untersuche $f$ in Abhängigkeit von $t$ auf Surjektivität bzw. Injektivität.
(3)

 

Lösung:

Mit $b_{1}=e_{1}$ und $b_{2}=e_{3}$ sowie $b_{3}=u_{1}$ und $b_{4}=u_{2}$ ist $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ wegen
$$\operatorname{det}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right|_{\mathrm{II} \leftrightarrow \mathrm{III}}-| \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 2 & -1 & \\ 0 & 1 & 0 & 2 & \text { Dreiecks- } \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \text {matrix} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \end{array}$$
eine Basis von $\mathbb{R}^{4},$ und mit $c_{1}=w_{1}, c_{2}=w_{2}$ und $w_{3}=e_{3}$ ist $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ wegen
$$\operatorname{det}\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)=\left|\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & \text { Laplace } & 1 & 2 \\ -2 & -3 & 0 & \text { 3. Spalte } & -2 & -3 \end{array}\right|=1 \neq 0$$
eine Basis von $\mathbb{R}^{3} .$ Wegen
$$\begin{aligned} f\left(b_{1}\right) &=A \cdot e_{1}=w_{1}=1 \cdot c_{1}+0 \cdot c_{2}+0 \cdot c_{3} \\ f\left(b_{2}\right) &=A \cdot e_{3}=w_{2}=0 \cdot c_{1}+1 \cdot c_{2}+0 \cdot c_{3} \\ f\left(b_{3}\right) &=A \cdot u_{1}=0=0 \cdot c_{1}+0 \cdot c_{2}+0 \cdot c_{3} \\ f\left(b_{4}\right) &=A \cdot u_{2}=0=0 \cdot c_{1}+0 \cdot c_{2}+0 \cdot c_{3} \end{aligned}$$
besitzt die darstellende Matrix von $f$ bezüglich dieser beiden Basen die Gestalt
$$M=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \Omega & \Omega & \Omega & \Omega \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 4}$$

Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte

MfG

Pizzaboss

Answer 1

Aloha :)

Keine Ahnung, was die Musterlösung aussagen soll. Die Determinante einer $2\times3$-Matrix gibt es nicht. Wo kommen die $u$-Vektoren her? Man weiß es nicht. Ich bin vermutlich nur zu blöd. Ich kann dir aber meine Lösung anbieten, die verstehe ich wenigstens ;)

Zuerst bestimmst du Bild und Kern der Matrix $A$. Dazu scheibst du die Matrix $A$ hin und daneben eine Einheitsmatrix mit so vielen Spalten wie die Matrix $A$ hat. Dann bringst du die Matrix $A$ durch elementare Spaltenumformungen auf Dreiecksform und -- das ist wichtig -- wiederholst dieselben Umformungsschritte an der Einheitsmatrix.

$$\left(\begin{array}{r}{} & {+2S_1} & {-2S_1} & {+3S_1}\\\hline 1 & -2 & 2 & -3\\-2 & 4 & -3 & 4\\3 & -6 & 5 & -7\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{r}{} & {+2S_1} & {-2S_1} & {+3S_1}\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}{} & {} & {} & {+2S_3}\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\-2 & 0 & 1 & -2\\3 & 0 & -1 & 2\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{r}{} & {} & {} & {+2S_3}\\\hline 1 & 2 & -2 & 3\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}{+2S_2} & {} & {} & {}\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\-2 & 0 & 1 & 0\\3 & 0 & -1 & 0\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{r}{+2S_2} & {} & {} & {}\\\hline 1 & 2 & -2 & -1\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}{\vec B_1} & {} & {\vec B_2} & {}\\\hline 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & -1 & 0\end{array}\right)\quad\left(\begin{array}{r}{} & {\vec K_1} & {} & {\vec K_2}\\\hline -3 & 2 & -2 & -1\\0 & 1 & 0 & 0\\2 & 0 & 1 & 2\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Die Basisvektoren $\vec B_1,\vec B_2$ des Bildes sind die von Null verschiedenen Spalten der ursprünglichen Matrix. Die Basisvektoren $\vec K_1,\vec K_2$ des Kerns sind die zu den Nullspalten korrespondierenden Spalten der ursprünglichen Einheitsmatrix.

Wir wählen nun die $\vec b$-Basisvektoren bestehend aus Bild und Kern:$$\vec b_1=\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\\0\end{array}\right)\;\;;\;\;\vec b_2=\left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\\0\end{array}\right)\;\;;\;\;\vec b_3=\left(\begin{array}{c}2\\1\\0\\0\end{array}\right)\;\;;\;\;\vec b_4=\left(\begin{array}{c}-1\\0\\2\\0\end{array}\right)$$Damit können wir die Abbildungsmatrix $A$ so transformieren, dass sie rechts als Eingangsgrößen Vektoren mit Komponenten bezüglich der $\vec b$-Basis erwartet, links aber als Ergebnis noch Komponenten bezüglich der Standardbasis $s$ liefert:

$${_s}A_{b}={_s}A_s\cdot{_s}id_b=\left(\begin{array}{r}1 & -2 & 2 & -3\\-2 & 4 & -3 & 4\\3 & -6 & 5 & -7\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 2 & -1\\0 & 1 & 1 & 0\\1 & -1 & 0 & 2\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$$${_s}A_{b}=\left(\begin{array}{r}3 & -4 & 0 & 0\\-5 & 7 & 0 & 0\\8 & -11 & 0 & 0\end{array}\right)$$Wie erwartet bilden die Basisvektoren $\vec b_3$ und $\vec b_4$ des Kerns auf den Nullvekor ab. Da die Matrix ${_s}A_b$ Ergebnisvektoren zur Standardbasis $s$ liefert, können wir auch die gesuchte $\vec c$-Basis direkt ablesen:$$\vec c_1=\left(\begin{array}{c}3\\-5\\8\end{array}\right)\;\;;\;\;\vec c_2=\left(\begin{array}{c}-4\\7\\-11\end{array}\right)\;\;;\;\;\vec c_3=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$$Damit transformieren wir das Ergebnis der Matrix ${_s}A_b$ noch von der Standardbasis in die neu gewählte $\vec c$-Basis:$$M={_c}A_b={_c}id_s\cdot {_s}A_b={{_s}id_c}^{-1}\cdot {_s}A_b$$$$\phantom{M}=\left(\begin{array}{r}3 & -4 & 0\\-5 & 7 & 0\\8 & -11 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{r}3 & -4 & 0 & 0\\-5 & 7 & 0 & 0\\8 & -11 & 0 & 0\end{array}\right)$$ $$\phantom{M}=\left(\begin{array}{r}7 & 4 & 0\\5 & 3 & 0\\-1 & 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}3 & -4 & 0 & 0\\-5 & 7 & 0 & 0\\8 & -11 & 0 & 0\end{array}\right)$$$$\phantom{M}=\left(\begin{array}{r}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$$

Comments

Wow, vielen Dank, dass du dir trotz dieser unordentlich gestellten Frage die Mühe gemacht hast, dass nochmal so ausführlich aufzuschreiben. Das hat mir sehr geholfen:)

Ein Frage habe ich aber noch. Wie kommst du darauf die Matrix $A$ quasi aus Spaltensicht in Zeilenstufenform zu bringen? Ich habe sowas noch nie vorher gesehen und mich würde interessieren wie man das erkennen kann.

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Ich mache mir gerne die Mühe, möglichst ausführlich zu antworten. Mir selbst hat damals eine sauber beantworte Aufgabe oft mehr beim Verständnis der Zusammenhänge gebracht als irgendwelche abstrakten Vorlesungen.

Die Idee mit den Spalten kommt daher, dass die Spalten einer Matrix die Bilder der Basisvektoren sind. Wenn ich also die Spalten voneinander subtrahieren oder addiere, manipuliere ich die Bilder der Basisvektoren. Durch Bildung der Dreiecksform rechne ich die linearen Abhängigkeiten dieser Bilder raus und erhalte schließlich Spaltenvektoren, die das Bild vollständig beschreiben, aber voneinander linear unabhängig sind. Das ist dann eine Basis des Bildes.

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Jetzt geht mir ein Licht auf;) Dieser Satz wurde uns in der Vorlesung naheuzu eingeprügelt. Danke, jetzt kann ich ich ihn auch in diesem Kontext anwenden.