Bestimmen Sie deren Funktionsgleichunga auf Grundlage der Skizze der Parabel

Question

Aufgabe (Rekonstruktionsaufgabe):

Es handelt sich um eine nicht maßstäbliche Skizze einer Parabel. Bestimmen Sie deren Funktionsgleichung.

Problem/Ansatz:

In der Aufgabe ist ein Koordinatensystem mit einer Parabel die nach unten geöffnet ist. Auf der y ist eine 9 eingezeichnet. Dort liegt auch der Hochpunkt der Parabel. Auf der X Achse ist ein u gezeichnet. Ansonsten steht noch in der Parabel drin A=36.

Ich weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Ich wäre über einen verständlichen Lösungsweg dankbar.

Nachtrag:

Also alles nochmal kurz in dieser Aufgabe ist der X Wert nicht gegeben. Ich wollte mit diesem Graphen ( f(x)=-(x-3)²+9 ) nur veranschaulichen wo der Graph ungefähr liegt, damit man sich den Graphen vorstellen kann. Eigentlich sieht die gegeben Funktionsgleichung so aus : f(x)=-(x-?)²+9 aus. Gegeben ist die höhe der Parabel=9 und A=36. Mehr nicht. Info am Rande: Die x-Achse ist nicht beschriftet am Ende ist lediglich ein kleines u.

Die Grafik sieht ungefähr so aus f(x)=-(x-3)²+9

Plotlux öffnen

f₁(x) = -(x-3)²+9

Comments

Definition Rekonstruktionsaufgabe:

Bei der Rekonstruktion geht es darum, mit den gegebenen Informationen eine komplette Funktionsvorschrift zu erlangen.

Na ja - was denn sonst. Du hast von einer Parabel ist die Lage des Hochpunkts gegeben und die Fläche, die die Parabel zusammen mit der X-Achse enschließt. Und gesucht ist die Funktionsgleichung der Parabel.

Frage: wo ist denn nun der Hochpunkt? bei $(0|9)$ oder bei $(3|9)$ oder ... ? Im ersten Fall siehe Lösung von Roland.

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Bei (3|9) liegt der Hochpunkt.

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Das ist schon lustig. Du möchtest den Lösungweg einer Aufgabe wissen - das ist legitim (!) - und gibst uns zunächst mal die Lösung. Das hilft natürlich, aber entscheidend für den Lösungweg ist das, was gegeben ist.

Was ist gegeben? Ist gegeben, dass der Hochpunkt bei $(3|9)$ liegt oder kann man an Hand der gegebenen Skizze sehen, dass die Parabel durch den Ursprung $(0|0)$ verläuft. In beiden Fällen würde sich der Lösungsweg der Aufgabe unterscheiden!

Ist die Y-Achse in der gegebenen Skizze eingezeichnet?

Geht die Parabel durch den Ursprung?

Was bezeichnet das $u$ genau? Ist es die X-Position des Scheitels oder ein Schnittpunkt der Parabel mit der X-Achse?

Answer 1

Hallo,

In der Aufgabe ist nach der Funktionsgleichung einer Parabel gesucht.

Die Skizze zu Deiner Aufgabe sieht in etwa so aus:

Was kann man da sehen? Die Parabel verläuft durch den Ursprung. D.h. der Punkt $(0;0)$ ist ein Punkt der Parabel. Der Hochpunkt (bzw. Scheitel) hat die Y-Koordinate $y_s=9$. Die Fläche unter der Parabel zwischen den beiden Nullstellen ist 36.

Das ist alles gegeben und das reicht aus, um die Funktion eindeutig zu bestimmen.

1.Lösungsweg:

Der Weg über die allgemeine Form einer Parabel $y(x) = ax^2 + bx + c$ ist etwas aufwendig. Daher nehme ich gleich die Scheitelpunktform. Die zweite Nullstelle liege bei $u$ und  es ist bekannt, dass der Scheitel einer Parabel immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen liegt. Folglich ist die Position des Scheitels $x_s=\frac u2$. Also lautet die Gleichung bis hierhin$$y(x) = a\left( x - \frac u2 \right)^2 + 9$$Da der Ursprung ein Punkt auf der Parabel ist, ist $$y(0) = 0 \\ \begin{aligned} \implies a\left( - \frac u2 \right)^2 + 9 &= 0 \\ au^2 &= -36\end{aligned}$$Um die Information über die Fläche zu nutzen, muss die Funktion integriert werden. Es ist$$\begin{aligned} \int_0^u a\left( x - \frac u2 \right)^2 + 9 \,\text dx &= 36 \\ \int_0^u ax^2 - aux + \frac 14 a {u^2} + 9 \,\text dx &= 36 \\ \left. \frac 13 ax^3 - \frac 12 aux^2 + \frac 14 au^2x + 9x\right|_0^u &= 36 \\ \frac 13 au^3 - \frac 12 au^3 + \frac 14 au^3 + 9u &= 36 \\ \frac 1{12} au^3 + 9u &= 36 &&\left| au^2 = -36 \space \text{s.o.}\right. \\ -3u + 9u &= 36 \\ 6u &= 36 \\ \implies u &= 6\end{aligned}$$und aus $au^2 = -36$ folgt dann noch $a=-1$. Einsetzen von $u$ und $a$ in die Formel für $y(x)= \dots$ oben gibt dann die gesuchte Funktion $$y(x) = -(x-3)^2 + 9$$

2. Lösungsweg:

Wenn man weiß, dass die Fläche eines symmetrischen Parabelausschnitts gleich $2/3$ der Fläche des umgebenden Rechtecks ist, so muss hier gelten$$\frac 23 \cdot 9 u = 36 \implies u = 6$$und aus der Bedingung $y(0)=0$ folgte ja $au^2 = -36$ (s.o.) - also ist $a=-1$.

Gruß Werner

Answer 2

Die Parabel hat die Gleichung p(x)=-ax²+9. Positive Nullstelle ist 3/√a. Dann soll 2· $\int\limits_{0}^{3/√a}$ (-ax²+9)dx=36 sein. Daraus folgt a=1 und die Gleichung ist p(x)=-x²+9.  

Comments

Hallo Roland!

Danke nochmal für die Antowort, jedoch hatte ich einen kleinen Fehler in meiner Aussage. Der Hochpunkt der Gleichung liegt nicht auf der y Achse. Die Funktion hat die Gleichung f(x)=-(x²-3)²+9. Wie würde da das Ergebnis aussehen oder ist das was du geschrieben hast richtig?

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Nein, in diesem Falle musst du den Ansatz f(x)=-a(x-3)²+9 analog zu meiner Rechnung weiter führen.