Berechnung von Messunsicherheiten

Question

hiii,

kann mir jemand bitte helfen

Aufgabe:

Nach mehrmaliger Messung der Schallgeschwindigkeit u zieht ein Student den Schluss, daß die Standardabweichung der Messwerte=10m/sec ist. Wir nehmen an, die Abweichungen seien zufällig. Dann kann der Student jede beliebige Präzision erreichen, indem er genug Messungen durchführt und deren Mittelwert berechnet. Wie viele Messungen sind nötig, damit die entgültige Unsicherheit +- 3m/s beträgt? Wie viele für eine Unsicherheit von nur 0,5m/s?

Ich glaube es geht um Hypothesentest aber ich habe echt keine Ahnung HILFEEE :(

Answer 1

Aloha :)

Der Mittelwert $\overline x$ ist ein Näherungswert für den Erwartungswert $\mu$ und unterliegt daher einer Ungenauigkeit. Die Standardabweichung $\sigma$ ist die Ungenauigkeit der Einzelmessung. Daraus folgt mit Hilfe des Gauß'schen Fehlerfortplanzungsgesetzes der Fehler $\Delta\overline x$ des Mittelwertes $\overline x$:$$\overline x=f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\frac{x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n}{n}$$$$(\Delta \overline x)^2=\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\sigma\right)^2=\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{1}{n}\sigma\right)^2=\frac{\sigma^2}{n^2}\sum\limits_{i=1}^n1=\frac{\sigma^2}{n^2}\,n=\frac{\sigma^2}{n}\;\Rightarrow\;\underline{\Delta\overline x=\frac{\sigma}{\sqrt n}}$$Um den Fehler des Mittelwertes auf $3\,m/s$ zu drücken, muss $n$ so gewählt weden, dass:$$3\,\frac{m}{s}=\Delta\overline x=\frac{10\,\frac{m}{s}}{\sqrt n}\quad\Rightarrow\quad\sqrt n=\frac{10}{3}\quad\Rightarrow\quad n=\frac{100}{9}\approx11,1$$Es sind also mindestens $n=12$ Messungen nötig.

Will man die Ungenauigkeit des Mittelwertes sogar unter $0,5\,m/s$ drücken, wirds aufwändig:$$\sqrt n=\frac{10\,\frac{m}{s}}{0,5\,\frac{m}{s}}=20\quad\Rightarrow\quad n=400$$Dann sind $n=400$ Messungen nötig.

Comments

Omg danke das hat mir echt weitergeholfen

Vielen Dank ♥️