Darstellungsmatrizen bestimmen

Question

wie funktioniert das?
$$x:=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \mapsto f(x):=\left(\begin{array}{l} x_{1}+x_{2} \\ x_{1}-x_{2} \\ x_{2}-x_{1} \end{array}\right)$$
gegeben ist. Für $\mathbb{R}^{2}$ betrachten wir die beiden Basen
$E_{2}:=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right)\right\}$

$$B:=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\}$$
und für $\mathbb{R}^{3}$ betrachten wir die beiden Basen

$E_{3}:=\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right\}$
$$C:=\left\{\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)\right\}$$

a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen $F_{E_{3}}^{E_{2}}(f), F_{E_{3}}^{B}(f), F_{C}^{E_{2}}(f)$ und $F_{C}^{B}(f)$

b) Überprüfen Sie das am Vektor ( 3  4)T, ob diese durch alle Darstellungsmatrizen auf dem selben Bildvektor f(v) abgebildet ist.

Answer 1

Aloha :)

Achte bitte im Folgenden darauf, wie die Matrizen miteinander verknüft werden. Was unten aus der rechten Matrix rausfällt, passt oben in die linke Matrix hinein, weil die Basen gleich sind.$$f(x)=\left(\begin{array}{c}x_1+x_2\\x_1-x_2\\x_2-x_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\binom{x_1}{x_2}\quad\Rightarrow\quad F^{E_2}_{E_3}=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)$$

$$F^B_{E_3}=F^{E_2}_{E_3}\cdot id_{E_2}^B=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{r}1 & 1\\0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}1 & 2\\1 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)$$

$$F^{E_2}_C=id^{E_3}_C\cdot F^{E_2}_{E_3}=(id^C_{E_3})^{-1} \cdot F^{E_2}_{E_3}=\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)$$$$\phantom{F^{E_2}_C}=\left(\begin{array}{r}0 & 2\\2 & -2\\-1 & 1\end{array}\right)$$

$$F^B_C=id_C^{E_3}\cdot F^B_{E_3}=(id^C_{E_3})^{-1}\cdot F^{B}_{E_3}=\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{r}1 & 2\\1 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0 & 2\\2 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)$$

In Teil b) sollen die Matrizen anhand des Vektors $(3|4)^T$ überprüft werden. Dazu müssen wir uns überlegen, wie dieser Eingangsvektor bezüglich der Basis $B$ aussieht. Dazu stellen wir ihn mit den Basisvektoren von $B$ dar:$$\binom{3}{4}_{E_2}=-1\cdot\binom{1}{0}+4\cdot\binom{1}{1}=\binom{-1}{4}_B$$Das Ergebnis der Abbildung bezüglich der Basis $E_3$ lautet:$$F_{E_3}^{E_2}\cdot\binom{3}{4}_{E_2}=F^{E_2}_{E_3}=\left(\begin{array}{r}1 & 1\\1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\binom{3}{4}_{E_2}=\left(\begin{array}{c}7\\-1\\1\end{array}\right)_{E_3}$$Dieses Ergebnis können wir auch mit Koordinaten bezüglich der Basis $C$ darstellen:$$\left(\begin{array}{c}7\\-1\\1\end{array}\right)_{E_3}=8\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}1\\1\\0\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\-2\\1\end{array}\right)_C$$Nun prüfen wir die oben berechneten Matrizen durch:

$$F^B_{E_3}\binom{-1}{4}_B=\left(\begin{array}{r}1 & 2\\1 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)\binom{-1}{4}_B=\left(\begin{array}{r}7\\-1\\1\end{array}\right)_{E_3}\quad\checkmark$$

$$F_C^{E_2}\binom{3}{4}_{E_2}=\left(\begin{array}{r}0 & 2\\2 & -2\\-1 & 1\end{array}\right)\binom{3}{4}_{E_2}=\left(\begin{array}{r}8\\-2\\1\end{array}\right)_C\quad\checkmark$$

$$F_C^B\binom{-1}{4}_B=\left(\begin{array}{r}0 & 2\\2 & 0\\-1 & 0\end{array}\right)\binom{-1}{4}_B=\left(\begin{array}{r}8\\-2\\1\end{array}\right)_C\quad\checkmark$$

Comments

hallo,

danke dir!

weisst du wie ich b) löse ?

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Ich habe meine Antwort um den Aufgabenteil b) ergänzt.

Sorry, das hatte ich irgendwie übersehen...

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Hallo, Tschakabumba!

Ich bin grad am verzweifeln, weil mir niemand bei der Aufgabe hilft :/ https://www.mathelounge.de/717425/darstellungsmatrix-bestimmen

du kannst es dir anschauen, wenn du magst.

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Aloha mathslooser ;)

Ich habe mir die Aufgabe angeschaut und ein bisschen was dazu geschrieben ;)

Answer 2

Hallo

 in den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren, die ja einfach zu finden sind, (die Bilder müssen als Linearkomb. der Basis des Bildes geschrieben werden)

 Gruß lul

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Wie mach ich das bei b)?

Answer 3

F^E2_E3 =      1     1
                   1   -1
                  -1    1

F^B_E3 =       1      2
                  1      0
                 -1      0

Für F^E2_C muss man ja die Bilder der Vektoren von E2 durch die von C darstellen

Wenn man die von C mal u,v,w nennt hat man

f (  1  )                   1
  (   0 )         =       1        =   0*u + 2*v -1*w
                             -1

also ist die erste Spalte der Matrix

0
2
-1

und f( 0 )               1
        (1 )     =        -1       =   2*u  -2v   + 1*w 
                             1

Also ist die Matrix

0      2
2      -2
-1      1               etc.

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Hallo, danke dir!

Kannst du mir den Zwischenschritt geben, wie du die 1. Darstellungsmatrix bestimmt hast, damit ich es nachvollziehen kann

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Die Spalten der Matrix sind die Bilder der Basisvektoren von E2 .

Genauer:  Sind die Zahlen, die man benutzen muss um diese

Bilder mit der Basis des Zielraumes darzustellen.