0 Daumen
644 Aufrufe

Im Folgenden betrachten wir Vektoren aus dem Q-Vektorraum Q3 bzw. Q[X]. Beweisen oder
widerlegen Sie folgende Aussagen; argumentieren Sie kleinschrittig und geben Sie detaillierte Begründungen.
(a)     (111) \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix}  ∈ ⟨(123) \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} (111) \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}

b)

2x3 x^{3} + 4x2 x^{2}  ∈ ⟨ 1X3 X^{3} + 4X2 X^{2} - 4X +1 , - 1X2 X^{2} + X + 1,2 X + 1,1. ⟩

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Zu a)

Untersuche dafür dieses LGS auf Lösbarkeit:

a(123)+b(111)=(111)a\cdot \begin{pmatrix}1\\2\\3 \end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\1 \end{pmatrix}

oder anders geschrieben:

(1)a+b=1(2)2a+b=1(3)3a+b=1(1)\quad a+b=1\\(2)\quad 2a+b=-1\\(3)\quad 3a+b=1


Zu b)

Im Prinzip dasselbe wie bei a) machen: LGS lösen; wird in diesem Zusammenhang auch gerne Koeffizientenvergleich genannt.

2x3+4x2+0x+0=2x3+4x2=a(x3+4x24x+1)+b(x2+x+1)+c(2x+1)+d1=ax3+(4ab)x2+(4a+b+2c)x+(a+b+c+d) 2\cdot x^3+4\cdot x^2+0\cdot x+0\\=2\cdot x^3+4\cdot x^2\\=a\cdot (x^3+4x^2-4x+1)+b\cdot (-x^2+x+1)+c\cdot (2x+1)+d\cdot 1\\=a\cdot x^3+(4a-b)\cdot x^2+(-4a+b+2c)\cdot x+(a+b+c+d)

Damit kannst du nun folgendes LGS aufstellen und auf Lösbarkeit überprüfen:

(1)a=2(2)4ab=4(3)4a+b+2c=0(4)a+b+c+d=0 \begin{aligned}&(1)\quad a&=2\\&(2)\quad 4a-b&=4\\&(3)\quad -4a+b+2c&=0\\&(4)\quad a+b+c+d&=0\end{aligned}

Avatar von 15 k

vielen Dank für die Antwort.

Ich komm bei aufgabe 1 auf keine Lösung, stimmt das ?

mfg

Sehr gut. Was heißt das also für die Aussage aus a)?

(111) \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix}   ∉ <  (123) \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} (111) \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}   ist oder nicht? 

Genauso ist es.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage