Induktion, konvergenz, monotonie

Question

Es ist die rekrusive Folge gegeben x_n+1 = 3x²+1/12 mit dem Startwert x_0 =0.

a) Ich soll mit Vollständiger Induktion zeigen dass für alle n € N gilt: x_n < 1/6.

b) Zeigen Sie, dass die gegebene Folge streng Monoton ist.

c) Begründen Sie, dass die gegebene Folge konvergiert und bestimmen Sie Ihren Grenzwert.

Ich brauche hier hilfe liebe community. Ich komme einfach nicht weiter!

Meine Fragen, a) weiß ich gar nicht wie ich vorangehen soll.

Bei b) brauche ich ja a_n um zu zeigen dass es Monoton ist. Dass bekomme ich aber auch nicht hin.

Den letzte frage, wieso konvergiert die, die folge kann doch nicht begrenzt sein?

Answer 1

Aloha :)$$x_{n+1}=3x_n^2+\frac{1}{12}\quad;\quad x_0=0$$a) Zu zeigen ist: $x_n<\frac{1}{6}$ für alle $n\in\mathbb{N}$

Induktionsverankerung bei $n=0$:$$x_n=x_0=0<\frac{1}{6}\quad\checkmark$$Induktionsschritt $n\to n+1$:$$x_{n+1}=3x_n^2+\frac{1}{12}<3\left(\frac{1}{6}\right)^2+\frac{1}{12}=\frac{3}{36}+\frac{1}{12}=\frac{3}{36}+\frac{3}{36}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\quad\checkmark$$Gemäß der Verankerung ist $x_n<\frac{1}{6}$ für $n=0$ und gemäß Induktionsschritt gilt dies auch für direkt aufeinanderfolgende Folgenglieder $x_{n+1}$. Daher ist $x_n<\frac{1}{6}$ für alle $n\in\mathbb{N}$.

b) Monotonie untersuchen

Wir subtrahieren zwei benachbarte Folgenglieder $x_{n+1}-x_n$. Wenn die Differenz $>0$ ist, ist $x_{n+1}>x_n$ und die Folge wächst. Ist die Differenz $<0$, ist $x_{n+1}<x_n$ und die Folge fällt.

$$x_{n+1}-x_n=3x_n^2+\frac{1}{12}\!-\!x_n=3\!\left(x_n^2+\frac{1}{36}\!-\!\frac{x_n}{3}\right)=3\!\left(x_n^2-\underbrace{2x_n\frac{1}{6}}_{=x_n/3}+\underbrace{\left(\frac{1}{6}\right)^2}_{=1/36}\right)$$Die letzte Umformung sieht zunächst nach einer Verschlimmerung aus, sie erlaubt uns aber die Rückwärts-Anwendung der zweiten binomischen Formel:

$$x_{n+1}-x_n=3\left(\underbrace{x_n^2}_{a^2}-2\cdot\underbrace{x_n}_{a}\underbrace{\frac{1}{6}}_b+\underbrace{\left(\frac{1}{6}\right)^2}_{b^2}\right)=3\left(\underbrace{x_n}_{a}-\underbrace{\frac{1}{6}}_{b}\right)^2>0$$Da eine Quadratzahl immer $\ge0$ ist das Ergebnis sicher $\ge0$. Wir haben in Teil a) aber gezeigt, dass $x_n<\frac{1}{6}$ ist, also wird $x_n-\frac{1}{6}$ niemals $=0$ und wir finden, dass $x_{n+1}>x_n$ ist. Die Folge ist also streng monoton wachsend.

c) Konvergenz und Grenzwert

Eine monoton wachsende / fallende Folge konvergiert genau dann, wenn sie nach oben / unten beschränkt ist. Daher konvergiert die Folge $(x_n)$. Zur Berechnung des Grenzwertes $x$ nutzen wir aus, dass $\lim\limits_{n\to\infty}(x_n)=\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1})$ ist:

$$\left.\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1})=3\left(\lim\limits_{n\to\infty}(x_n)\right)^2+\frac{1}{12}\quad\right|\;x=\lim\limits_{n\to\infty}(x_n)=\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n+1})$$$$\left.x=3x^2+\frac{1}{12}\quad\right|\;-x$$$$\left.3x^2-x+\frac{1}{12}=0\quad\right|\;:3$$$$\left.x^2-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=0\quad\right|\;\text{wie oben, die 2-te binomische Formel rückwärts}$$$$\left.\underbrace{x^2}_{a^2}-2\cdot\underbrace{\frac{1}{6}}_{b}\cdot \underbrace{x}_{a}+\underbrace{\left(\frac{1}{6}\right)^2}_{b^2}=0\quad\right|\;(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$$$\left.\left(x-\frac{1}{6}\right)^2=0\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.x-\frac{1}{6}=0\quad\right|\;+\frac{1}{6}$$$$x=\frac{1}{6}$$Der Grenzwert ist also $x=\frac{1}{6}$.

Comments

Ach du...... . Bitte sag mir wie du dass einfach so verstehen kannst. Ich meine, wie schaffe ich dass, dass ich auch einfach drauf losrechne. Ich schaue es mir seid 2 tagen an und hab keine Idee, man. Kannst du mir Tipps geben wie ich dass schaffe sowas zu erkennen? Hast du sowas einfach auf Anhieb verstanden?

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Ich glaube, das versteht kaum jemand sofort. Bei mir ist es einfach ein bisschen Erfahrung. Wenn man sich lange Zeit mit etwas beschäftigt, bekommt man ein Gefühl dafür, wie es geht.

Das ist mit Mathe nicht anders als mit Fahrrad fahren, kochen oder sonst irgendwas. Am Anfang ist es schwierig, später wird es immer einfacher.

Mach dir also keinen Kopf. Ich habe für dich die Lösung extra sehr ausführlich aufgeschrieben, damit du alle Schritte nachvollziehen kannst.

Falls du etwas noch nicht verstanden hast, frag bitte einfach nach ;)

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Wirklich ich danke dir aus tiefem Herzen und dass meine ich wirklich so. Wenn ich mein Mathe Studium erfolgreich beenden sollte, werde ich mich an diese Antwort erinnern und werde Dankbar sein. Wirklich in einem Moment denkt man sich: Dass schaffe ich nicht. Dann braucht man manchmal einfach nur einen schubs. Vielen vielen Dank.

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Es gibt einen Spruch, wie man durch die ersten Semester Mathe-Studium kommt:

"Du musst nur (F/f)olgen können..."

Wenn du irgendwelche Probleme hast, einfach hier einstellen. Wir helfen dir gerne weiter ;)

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^^ der ist nicht schlecht :D. Vielen Dank ich weiß dass wirklich sehr zu schätzen. Drückt mir bitte die Daumen dass ich es erfolgreich durchziehe. Und wirklich kann es nicht oft genug sagen, vielen vielen Dank.

Wenn ich fragen habe, wende ich mich hier hin.

Und danke für die Motivation. :-)

Answer 2

Wahrscheinlich lautet die Aufgabe $$x_{n+1} = 3 x_n^2 + \frac{1}{12}$$ Du hattest das $n$ bei $x_n^2$ vergessen.

Zeige die Folge ist monoton wachsend und beschränkt. Dann konvergiert sie auch und der Grenzwert berechnet sich aus der quadratischen Gleichung $$x = 3x^2+\frac{1}{12}$$ da ja die Grenzwerte von $x_{n+1}$ und $x_n$ gleich sind. Der Grenzwert ist dann auch eine obere Schranke dieser Folge, da sie ja monoton wächst.