Permutationsmatrix Gruppenhomomorphismus beweisen

Question

Guten Tag habe eine Frage bezügich meiner Lösung einer Aufgabe:

Ich soll zeigen, dass F: $$S_{n}\rightarrow GL_{n}(K), σ \rightarrow P_{σ}^{T} \text{ein injektiver Grupenhomo ist, für} P_{σ}^{T} = (e_{σ(1)}, ... ,e_{σ(n)})$$

Nun habe ich folgendes gemacht:

zz: $$F(σ\text{o }τ)= F(σ)*F(τ)$$

Bew: $$F(σ\text{o }τ) = (e_{(σoτ(1)}, ... ,e_{σoτ(n))}) = (e_{(σ(1)oτ(1)}, ... ,e_{σ(n)oτ(n))}) = (e_{(σ(1)}oe_{τ(1)}, ... ,e_{σ(n)}oe_{τ(n))}) = (e_{(σ(1)}, ... ,e_{σ(n)} o e_{τ(1)}, ... ,e_{τ(n))}) = (e_{(σ(1)}, ... ,e_{σ(n)})* (e_{τ(1)}, ... ,e_{τ(n))}) = F(σ)*F(τ)$$

Erstens ist das richtig so? Und zweitens, wie zeige ich die Injektivität?

Ich soll ebenfalls zeigen, dass F für $$n \geq 2$$ nicht surjektiv ist, dafür reicht ein einfaches Gegenbeispiel oder?

Danke schonmal,

MFG

Answer 1

Das sieht leider nicht gut aus. zB. $e_{\sigma(1)} \circ e_{\tau(1)}$ ist eine Komposition von Vektoren, was soll das sein?

zz ist $F(\sigma\circ\tau) = F(\sigma) \cdot F(\tau)$. Das sind zwei Matrizen, also zeigt man, dass diese in jedem Eintrag übereinstimmen. Schauen wir uns mal die linke Seite an: $$F(\sigma\circ\tau) = P_{\sigma\circ\tau}^T = (e_{(\sigma\circ\tau)(1)},...,e_{(\sigma\circ\tau)(n)})$$ Das heißt in der j-ten Spalte steht der $(\sigma\circ\tau)(j)$-te Einheitsvektor und somit ist nur in der $(\sigma\circ\tau)(j)$-ten Zeile eine Eins und sonst überall Nullen. Ausgedrückt mit dem Kronecker-Delta: $$F(\sigma\circ\tau)_{i,j} = \delta_{i,(\sigma\circ\tau)(j)}$$ Wir befinden uns in der j-ten Spalte, und in der i-ten Zeile steht hier nur eine Eins falls $i = (\sigma\circ\tau)(j)$ und sonst eine Null.

Und jetzt untersuchen wir die rechte Seite: $$F(\sigma) \cdot F(\tau) = P_\sigma^T \cdot P_\tau^T$$ und betrachten auch jetzt hier die einzelnen Einträge: $$(F(\sigma) \cdot F(\tau))_{i,j} = (P_\sigma^T \cdot P_\tau^T)_{i,j} = \sum_{k=1}^n (P_\sigma^T)_{i,k} \cdot (P_\tau^T)_{k,j}$$ Das ist einfach die Definition des Matrix-Produkts, die solltest du auf jeden Fall kennen. Mit der gleichen Überlegung wie oben erhält man $(P_\sigma^T)_{i,k} = \delta_{i,\sigma(k)}$ und $(P_\tau^T)_{k,j} = \delta_{k,\tau(j)}$ und jetzt schauen wir uns mal die Summanden an: $$\begin{aligned} (P_\sigma^T)_{i,k} \cdot (P_\tau^T)_{k,j} = \delta_{i,\sigma(k)} \cdot \delta_{k,\tau(j)} = 1 &\iff \delta_{i,\sigma(k)} = 1 \text{ und } \delta_{k,\tau(j)} = 1 \\&\iff i=\sigma(k) \text{ und } k = \tau(j) \\&\iff \sigma^{-1}(i) = k \text{ und } k = \tau(j) \\&\iff \sigma^{-1}(i) = \tau(j) \text{ und } k = \tau(j) \\&\iff i = (\sigma\circ\tau)(j) \text{ und } k = \tau(j) \end{aligned}$$ Also können wir auch schreiben $\delta_{i,\sigma(k)} \cdot \delta_{k,\tau(j)} = \delta_{i,(\sigma\circ\tau)(j)} \cdot \delta_{k,\tau(j)}$ und das setzen wir jetzt in die Summe ein, den ersten Faktor können wir rausziehen da er nicht von k abhängt: $$\sum_{k=1}^n (P_\sigma^T)_{i,k} \cdot (P_\tau^T)_{k,j} = \delta_{i,(\sigma\circ\tau)(j)} \underbrace{ \sum_{k=1}^n \delta_{k,\tau(j)}}_{=1} = \delta_{i,(\sigma\circ\tau)(j)}$$ Beachte hier, dass es eben nur genau ein k mit $k = \tau(j)$ gibt, das folgt aus der Bijektivität der Permutation. Insgesamt haben wir also nachgerechnet, dass die Matrizen in jedem Eintrag übereinstimmen: $$F(\sigma\circ\tau)_{i,j} = \delta_{i,(\sigma\circ\tau)(j)} = (F(\sigma) \cdot F(\tau))_{i,j}$$ also sind die Matrizen auch insgesamt gleich: $F(\sigma\circ\tau) = (F(\sigma) \cdot F(\tau))$.

Das war jetzt sehr ausführlich, den Rest der Aufgabe bekommst du bestimmt auch alleine hin. Tipps:

F ist injektiv <=> kern F = { id } (Mit id meine ich die Identität)

Um die Surjektivität zu widerlegen reicht tatsächlich ein einfaches Gegenbeispiel, also gib eine invertierbare Matrix an, die nicht von F getroffen wird. Beachte dabei allerdings, dass die Charakteristik von K auch =2 sein kann. Arbeite also am Besten nur mit den Zahlen 0 und 1.

Comments

Alles klar, Dankeschön. Das Kronecker-Delta haben wir allerdings nicht verwendet. Verstehe aber natürlich trotzdem was du mir gezeigt hast. Ich weiß was zu zeigen ist, aber manchmal mache ich es dann trotzdem falsch. Danke dir nochmal! :)