Vektoren, Geraden und Ebenen

Question

Hallo erstmal!

Die Aufgabe lautet : Von einem Würfel (a=8cm) werden die Ecken so abgeschnitten, dass die Schnittkanten jeweils durch die Mitten der Würfelkanten verlaufen.

Zwei der Punkte P1(8/2/6), P2 (8/8/6),                  P3 (8/0/8), P4 (8/3/7), P5 (4/8/4) liegen auf einer Kante des entstandenen Körpers.

Begründe dies rechnerisch mit den Gleichungen der Kanten.

Muss ich hier v+r*u benutzen? Und wenn ja welche Punkte muss ich denn zusammenrechnen?

Text erkannt:

\( f \)

Answer 1

Hallo Marie,

Die Aufgabe setzt voraus, dass Kanten des Würfels auf drei Koordinatenachsen liegen. Ansonsten gäbe es 'viele' Lösungen!

Es reicht zunächst aus, den Würfel und die 5 Punkte zu zeichnen (z.B. im Schrägbild). Alle Punkte die nach dem Abschneiden der Ecken auf Kanten des neuen Körpers liegen, müssen auf der Oberfläche des Würfels liegen, aber nicht auf seinen Kanten, da diese abgeschnitten werden (ausgenommen die Kantemitten). Damit fallen die Punkte \(P_2\) und \(P_3\) bereits raus.

(klick auf das Bild und rotiere es mit der Maus)

Der Punkt \(P_5\) liegt genau mittig auf einer Fläche, also wird er auch auf keiner der zukünftigen Kanten liegen.

Bleiben die Punkte \(P_1\) und \(P_4\). Zeige, dass sich die beiden Punkte auf der Strecke zwischen den angrenzenden Kantenmitten des Würfels befinden.

Comments

Vielen Dank! Das ist eine große hilfe

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Vielen Dank! Das ist eine große hilfe

Eine frage hätte ich noch, in der Aufgabe steht ich muss es rechnerisch machen, wie genau mach ich das? Also welche Zahlen muss ich in welche Formel einsetzen?

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... wenn Du 'alles' rechnerisch lösen sollst, so müsstest Du jeden der fünf Punkte in jede Geradengleichung jeder möglichen Kante einsetzen. Das sind 24 Geradengleichung mal 5 Punkte macht 120 Prüfungen. Bißchen viel - oder?

Ich mache das mal für den Punkt \(P_1\) und prüfe ob er auf der Strecke durch \(Q\) und \(R\) liegt. Wobei $$Q = \begin{pmatrix}8\\ 0\\ 4\end{pmatrix}, \quad R = \begin{pmatrix}8\\ 4\\ 8\end{pmatrix}$$(s. Bild oben) Die Geradengleichung \(g\) durch die beiden Punkte ist$$g: \space x = Q + t(R-Q)$$ liegt \(P_1\) auf der Strecke zwischen \(Q\) und \(R\), so muss es eine Lösung für die Gleichung $$Q + t(R-Q) = P_1$$geben, wobei \(t\) zwischen \(0\) und \(1\) liegen muss.$$\begin{aligned} \begin{pmatrix}8\\ 0\\ 4\end{pmatrix} + t\left( \begin{pmatrix}8\\ 4\\ 8\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}8\\ 0\\ 4\end{pmatrix}\right)&= \begin{pmatrix}8\\ 2\\ 6\end{pmatrix} \\ t \begin{pmatrix}0\\ 4\\ 4\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 2\end{pmatrix}\end{aligned}$$Die erste Koordinatengleichung \(t \cdot 0 = 0\) ist immer erfüllt. Aus der zweiten Gelichung \(t \cdot 4 = 2\) folgt \(t=0,5\) und dies erfüllt auch die dritte. Folglich existiert eine Lösung \(t=0,5\) für obige Vektorgleichung und \(t\) liegt im geforderten Intervall - nämlich genau in der Mitte.

Genauso geht es für \(P_4\). Und die anderen Punkte würde ich ohne Rechnung mit den obigen Begründungen ausschließen.

Answer 2

Dann muss vorausgesetzt werden, dass der Wüfel mit 3 Kanten auf der Koordinatenachsen liegt. (Das steht aber nicht im Aufgabentext.) Zeichne und benenne zunächst die Ecken dieses Würfels und dann die Seitenmitten.

Comments

Dankeschön, aber wie kann ich die Ecken benennen wenn ich nicht richtig erkennen kann auf welchen Koordinaten sie liegen, oder habe ich einen Denkfehler?

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wächter hat (unten) die Zeichnung gemacht, die du wohl nicht gemacht hast.

Answer 3

Das ist ja eine fiese Aufgabe: (Annahme: der Würfel liegt im 1. Quadranten)

Da hilft nur eine genaue 3D Betrachtung - ziehe damit Deine Schlüsse

P3, P2, P5 kommen nicht in Frage, weil....