Grenzwert von limn→∞ √(10-sin(1/x)*x)?

Question

Kann mir jemand weiterhelfen? Komme da echt nicht weiter.

Comments

Wie weit reicht die Wurzel? Bitte durch Klammern markieren.

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\(\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{10-\sin(1/x)\cdot x} =\sqrt{10-\sin(1/x)\cdot x} \)

Answer 1

lim (x → ∞) x * sin(1/x)

lim (x → ∞) sin(1/x) / (1/x)

L'Hospital

lim (x → ∞) (- COS(1/x)/x^2) / (- 1/x^2)

lim (x → ∞) COS(1/x) = 1

Der Rest dürfte dann klar sein oder?

Answer 2

Heißt es vielleicht   x → ∞ ???

Das geht dann gegen 3. Denn das Problem ist doch nur

der Teil sin(1/x) * x . Das ist für x → ∞ vom Typ 0 * ∞

und wird durch die Umformung

sin(1 /x)  /   (1/x)    zu einem Grenzwert vom Typ 0/0 und

das gibt mit de Hospital :

cos(1/x) * (-1/x^2 )    /  (-1/x^2 )   =  cos(1/x)

hat also Grenzwert 1.