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Die Ableitung von -(x+1)*2^{x-1}. Ketten- und Produktregel, aber wie?
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Du suchst die Ableitung von

$$ f ( x ) = - ( x + 1 ) \cdot 2 ^ { ( x - 1 ) } $$

Dafür definieren wir uns erstmal zwei Funktionen g(x) und h(x) mit der Eigenschaft

f(x) = g(x)*h(x)

denn dann gilt für die Ableitung:

f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x)

Hier sind das:

$$ \begin{array} { l } { g ( x ) = - ( x + 1 ) } \\ { \Rightarrow g ^ { \prime } ( x ) = - 1 } \\ { h ( x ) = 2 ^ { x - 1 } } \\ { \Rightarrow h ^ { \prime } ( x ) = \ln ( 2 ) \cdot 2 ^ { x - 1 } } \end{array} $$

Eigentlich wird für h'(x) noch die Kettenregel benutzt, aber x-1 ergibt abgeleitet einfach 1, deswegen gibt es dadurch keine Veränderung.

Für f'(x) gilt also:

$$ \begin{array} { l } { f ^ { \prime } ( x ) = - 2 ^ { x - 1 } + ( - ( x + 1 ) ) \cdot \ln ( 2 ) \cdot 2 ^ { x - 1 } } \\ { f ^ { \prime } ( x ) = 2 ^ { x - 1 } \cdot ( 1 - ( x + 1 ) \cdot \ln ( 2 ) ) } \\ { f ^ { \prime } ( x ) = 2 ^ { x - 1 } \cdot ( 1 - \ln ( 2 ) - \ln ( 2 ) x ) } \end{array} $$

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