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ich wäre sehr dankbar für Hilfe oder einen Ansatz bei der folgenden Aufgabe:

Es soll eine Sprungschanze erbaut werden. Die Anforderungen an die Sprungschanze ist eine Höhe von mindestens 8 Metern und auf dem abfallenden Stück ein durchschnittliches Gefälle von mindestens 100%. Der Konstruktionszeichner modelliert das Profil dieser Schanze mit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades: f(x)= 1/30x3 - 0,8x2 +4,8x

x: horizontale Distanz in Metern  f(x): Höhe über Boden in Metern

1. Bestätige durch eine Rechnung, dass die erste Anforderung („Mindesthöhe von 8 Metern“)
erfüllt ist.
2. Bestimme die mittlere Änderungsrate von dem höchsten Punkt der Sprungschanze zum
niedrigsten.
Begründe, dass dieser Wert bestätigt, dass auch die zweite Anforderung („durchschnittliches
Gefälle von mindestens 100%“) erfüllt ist.
3.  Bestimme das größte lokale Gefälle, dass auf dem abfallenden Abschnitt der Schanze auftritt.
Begründe, dass sich dieses Gefälle im Punkt (8 | f(8) ) befinden muss.

4.Bestimme die Koordinaten der Punkte, an denen die Schanze eine Steigung von 2 hatrati

Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen!

Liebe Grüße

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Vielen, lieben Dank für die Antworten!! :))

3 Antworten

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Der Konstruktionszeichner modelliert das Profil dieser Schanze mit einer ganzrationalen Funktion dritten Grades: f(x)= 1/30x3 - 0,8x2 +4,8x

Normalerweise steht in der Aufgabenstellung noch etwas über den Definitionsbereich, zum Beispiel

        0 < x < 13

oder Ähnliches. Falls dem so ist, dann ist das wesentlicher Bestandteil der Aufgabenstellung.

1. Bestätige durch eine Rechnung, dass die erste Anforderung („Mindesthöhe von 8 Metern“)
erfüllt ist.

Der Hochpunkt ist bei 4 und es ist f(4) > 8.

Weißt du wie man Hochpunkte berechnet?

2. Bestimme die mittlere Änderungsrate von dem höchsten Punkt der Sprungschanze zum
niedrigsten.

Der Tiefpunkt ist bei 12.

Mittlere Änderungsrate zwischen Hoch- und Tiefpunkt ist

        f(12)f(4)124\frac{f(12) - f(4)}{12-4}.

Begründe, dass dieser Wert bestätigt, dass auch die zweite Anforderung („durchschnittliches
Gefälle von mindestens 100%“) erfüllt ist.

Ein durchschnittliches Gefälle von mindestens 100% liegt vor wenn die mittlere Änderungsrate höchstens -100% ist.

3.  Bestimme das größte lokale Gefälle, dass auf dem abfallenden Abschnitt der Schanze auftritt.

Bestimme das lokale Minimum der Ableitung.

Begründe, dass sich dieses Gefälle im Punkt (8 | f(8) ) befinden muss.

Berechne f'(8).

4.Bestimme die Koordinaten der Punkte, an denen die Schanze eine Steigung von 2 hatrati

Löse die Gleichung

        f'(x) = 2.

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Hallo Victoria,

ich unterstelle, dass die "Höhe" der Sprungschanze der Wert zwischen den beiden Extreme ist. Die Extrema findet man durch die 1.Ableitungf(x)=130x30,8x2+4,8xf(x)=110x21,6x+4,80    x216x+48=0x1,2=8±6448=8±4x1=4, x2=12\begin{aligned} f(x) &= \frac 1{30} x^3 - 0,8 x^2 + 4,8x \\ f'(x) &= \frac 1{10}x^2 - 1,6 x + 4,8 \to 0 \\ \implies x^2 - 16 x + 48 &= 0 \\ x_{1,2} &= 8 \pm \sqrt{64 - 48 } = 8 \pm 4 \\ x_1 &= 4, \space x_2 = 12 \end{aligned}Die Sprungschanze befindet sich also im Intervall [4;12][4;12]. Und die Höhe hh ist demzufolgef=f(4)f(12)=12815>12015=8f = f(4) - f(12) = \frac{128}{15} \gt \frac {120}{15} = 8Ist also höher als 8m und so sieht sie aus

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f1(x) = 1x3/30-0,8x2+4,8xZoom: x(-2…17) y(-2…12)P(4|128/15)P(12|0)f2(x) = -16(x-12)/15


2.) Die durchschnitliche Steigung mm zwischen den beiden Extrema (entspricht der Steigung der roten Geraden oben) ist m=f(x2)f(x1)x2x1=f(12)f(4)124=1615<1m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{f(12) - f(4)}{12-4} = -\frac{16}{15} \lt -1100% Gefälle entspräche einer Steigung von -1. Die Steigung mm ist kleiner, folglich hat sie mehr als 100% Gefälle.

3.) Die Position x=8x=8 ist gegeben. Setz man dies in f(x=8)f'(x=8) ein, so ergibt diesmmax=f(x=8)=1,6=160%m_{\max} = f'(x=8) = -1,6 = -160\%

4.) Im Bereich der Schanze hat sie nie den Wert 2 (sicher, dass es nicht -2 ist?), da in diesem Bereich die Steigung immer negativ ist. Aber außerhalbf(x)=110x21,6x+4,8=2110x21,6x+2,8=0x216x+28=0x1,2=8±6428=8±6x1=2, x2=14\begin{aligned} f'(x) = \frac 1{10}x^2 - 1,6 x + 4,8 &= 2 \\ \frac 1{10}x^2 - 1,6 x + 2,8 &= 0\\ x^2 - 16x + 28 &= 0 \\ x_{1,2} &= 8 \pm \sqrt{64 - 28 } = 8 \pm 6 \\ x_1 &= 2, \space x_2 = 14 \end{aligned}dort hat die Funktion die Steigung 2

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f1(x) = 1x3/30-0,8x2+4,8xZoom: x(-2…17) y(-2…12)P(8|64/15)P(2|20/3)f2(x) = 2(x-2)+20/3P(14|28/15)f3(x) = 2(x-14)+28/15


Gruß Werner

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Das Ganze ist eine komplette Kurvendiskussion,nicht besonders schwer,aber viel Rechnerei

f(x)=1/30*x³-0,8*x²+4,8*x  Nullstelle bei x=0  Maximum xmax=4 ymax=8,533 Minimum xmin=12 ymin=0

f´(x)=0=1/10*x²-1,6*x+4,8 Nullstellen bei x1=4 und x2=12

nun prüfen,ob Maximum oder Minimum

f´´(x)=1/5*x-1,6   → f´´(4)=1/5*4-1,6=-0,8<0 also Maximum bei x=4

f´´(12)=1/5*12-1,6=0,8>0 also Minimum bei x=12

f(4)=1/30*4³-0,8*4²+4,8*4=8,533..>8  Bedingung erfüllt

durchschnittliche Steigung zwischen x=4 und x=12

m=(y2-y1)/(x2-x1) x2>x1 mit y1=f(4)=8,533  und y2=f(12)=0

m=(0-8,533)/(12-4)=-1,066..

Umrechnung Steigung in Prozent  p in tan(a)=Gk/Ak=m   →m=p/100%

also mit p=100% m=100%/100%=1  m=-1,066  Betrag|1,066| <|1|  Gefäälle ist gößer 1 erfüllt


3) größte Änderungsrate=größtes gefälle  f´(x)=m → maximal bei´m Wendepukt xw

f´(x)=1/10*x²-1,6*x+4,8 abgeleitet

f´´(x)=01/5*x-1,6 Nullstelle xw=1,6*5=8

Maximales Gefälle bei x=xw=8  Wendepunkt  mit f´(8)=m=1/10*8²-1,6*8+4,8=-1,6

zu 4) f´(x)=m=2=1/10*x²-1,6*x+4,8

0=1/10*x²-1,6*x+4,8-2

0=1/10*x²-1,6*x+2,8   Nullstellen x1=2 und x2=14

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kurvendiskussion.JPG

Text erkannt:

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xy1/(1+(y)2)2(3/2) x-y^{\prime} \cdot 1 /\left(1+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right)^{2}(3 / 2)
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f1(x) = 1/30·x3-0,8·x2+4,8·xZoom: x(-5…20) y(-2…15)x = 8


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