Anwendung der Integralrechnungen

Question

Gesucht ist der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über dem angegebenen Intervall I.

Skizzieren Sie zum besseren Überblick zunächst die Graphen.

a) f(x)=1/6 x^3 -1/2 x; I=[-1;2]

b) f(x)=x^3-4x;I=[-3;2]

c)f(x)=√x;I=[0;4]

d) x^4-x^3;I=[0;2]

ich hab es versucht, aber kriegs nicht hin

Answer 1

a) So sieht die Fläche aus:

 

Die Nullstellen im Intervall [-1,2] sind  x = √3 und x = 0. Integriere von Grenze zu Nullstelle, von Nullstelle zu Nullstelle und von Nullstelle zu Grenze. Addiere die Beträge.

Answer 2

Merke:Man darf nicht über Nullstellen hinweg integrieren !Flächen unter der x-Achse haben ein negatives Vorzeichen !

1 Schritt:Den Graphen zeichnen und die Nullstellen bestimmen

2 Schritt.Die einzelnen Beträge der Teilflächen zur Gesamtfläche addieren

f(x)=1/6*x³-1/2*x  Nullstellen bei x1=-1,732 und x2=0 und x3=1,732

Daraus ergeben sich 3 Teilflächen A1 und A2 und A3

1) Integrationsinervall 1 : xu=-1 und xo=0

2) Integrationsintervall 2:xu=0 und xo=1,732

3) Integrationsintervall 3: xu=1,732 und xo=2

integriet: F(x)=∫(1/6*x³-1/2*x)*dx=1/6*∫x³*dx-1/2*∫x*dx=1/6*x^(3+1)*1/(3+1)-1/2*x^(1+1)*1/(1+1)+C

F(x)=1/24*x^4-1/4*x²+C

A=obere Grenze minus untere Grenze  xo=0 und xu=-1

A1=(1/24*0^4-1/4*0²) - (1/24*(-1)^4-1/4*(-1)²)=(0) - (-0,2083..

A1=0,2083 FE (Flächeneinheiten)

A2=....

A3=.....

Agesamt=|A1|+|A2|+|A3|

Prüfe auf Rechen und Tippfehler

~plot~1/6*x^3-1/2*x;[[-10|10|-10|10]] x ~plot~

Comments

kannst du das komplett vorrechnen? ich komme nicht klar

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Merke:man darf nicht über Nullstellen hinweg integrieren,weil Flächen unter der x-Achse ein negatives Vorzeichen haben

f(x)=1/6*x³-1/2*x integriert

F(x)=∫(1/6*x³3-1/2*x)*dx=1/6*∫x³*dx-1/2*∫*x*dx

F(x)=1/6*x^(3+1)*1/(3+1)-1/2*x^(1+1)*1/(1+1)+C

F(x)=1/24*x^4-1/4*x²+C

f(x)=1/6*x³-1/2*x Nullstellen bei x1=0 und x2=1,732..

A=obere Grenze minus untere Grenze

für A1  → xu=-1 und xo=0

Die Integrationskonstante C hebt sich bei dieser Rechnung auf

A1=(1/24*0^4-1/4*0²) - (1/24*(-1)^4-1/4*(-1)²)=(0) - (-5/24)=5/24

A1=0,2083 FE (Flächeneinheiten)

A2 → xu=0 und xo=1,732

A2=(1/24*1,732^4-1/4*1,732²) - (1/24*0^4-1/4*0²)=-0,375

A2=-0,375 FE  liegt unter der x-Achse,deshalb das Minuszeichen

Betrag A2=|0,375| FE

A3 → xu=1,732 und xo=2

A3=(1/24*2^4-1/4*2²) - (1/24*1,732^4-1/4*1,732²))=(-1/3)-(-0,375)

A3=-1/3+0,375=0,0416

A3=0,0416 FE

Gesamtfläche Ages=A1+|A2|+A3=0,2083+|0,375|+0,0416=0,6247

Ages=0,6247 FE

Alle Aufgaben rechne ich hier nicht,weil mir das zu viel Arbeit ist und ich nciht bezahlt werde.

~plot~x^3-4*x;x^4-x^3;[[-5|5|-5|5]]~plot~