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Die Autobahnkurve E52 wurde in zwei geraden Teilstücken bei Eichet an den Chiemsee herangeführt. Diese Teile sollen durch eine Kurve glatt miteinander verbunden werden

a) Wo liegt der südlichste Kurvenpunkt?

image.jpg

Text erkannt:

\( \frac{1}{1} \frac{\frac{12}{10}}{\frac{1}{152}} d x \)

 Ich weiß jemand hat die Frage schon gestellt jedoch bin ich mit den Antworten nicht weiter gekommen wäre sehr lieb wenn ihr mir helfen könntet mit der Aufgabe☺️

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f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

f(1) =0

f(5)= 0

f '(1) = g1'(1) = -1 (siehe unten)

f '(5) = g2'(5) = 2 (siehe unten)


g1(x):

y= mx+b

m= (0-1)/(1-0)) =-1 → f '(1) = -1


g2(x):

y= mx+b

m = (2-0)/(6-5)= 2 → f '(5)= 2

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Wieso 5? Verstehe nicht wie man da auf 5 kommt?

5 kann man ablesen. Die Abstände stehen ja bereits in der Grafik. 1. Nullstelle x=1 und bei der Kurve steht ja eine 4, heißt der Abstand bzw. Die Länge dazwischen wo der Graph die x-Achse schneidet ist 4. Also die 1+4=5 :-)

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f(x) = ax3+bx2+cx+d
f(1) =0 führt zu    (1) 0=a+b+c+d
f(5)= 0 führt zu    (2) 0=125a+25b+5c+d
f '(x)=3ax2+2bx+c
f '(1) = -1 führt zu (3) -1=3a+2b+c
f '(5) = 2 führt zu  (4) 2= 75a+10b+c.

Das System der Gleichungen (1), (2), (3) und (4) mit den Unbekannten a, b,c und d hat die Lösungen a=1/16, b=-3/18, c=-13/16 und d=15/16. Also

f(x)=1/16(x3-3x2-13x+15)

blob.png

Südlichster Kurvenpunkt liegt an der positiven Nullstelle der 1. Ableitung:

f '(x)=1/16(3x2-6x-13); xE=4/3·√3≈3,3; f(xE)≈-1,54.

Südlichster Kurvenpunkt ist ungefähr (3,3|-1,54)

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Aloha :)

Die gesuchte kubische Parabel hat die Nullstellen \((1|0)\) und \((5|0)\). Sie muss also die Faktoren \((x-1)\) und \((x-5)\) enthalten. Daher wählen wir als Ansatz:$$y(x)=a\cdot(x-b)\cdot(x-1)\cdot(x-5)$$Die beiden Unbektannten \(a\) und \(b\) erhalten wir aus der Information, dass die Kurve "glatt" mit den beiden linearen Teilstücke abschließen soll. Das heißt, die Ableitungen müssen an den beiden Anschlusspunkten übereinstimmen:$$y'(1)=-1\quad;\quad y'(5)=2$$Wir bilden daher die Ableitung mit Hilfe der Produktregel$$y'(x)=a(x-1)(x-5)+a(x-b)(x-5)+a(x-b)(x-1)$$und setzen die Bedingungen für "glatt" ein:$$-1=y'(1)=a(1-b)(1-5)=-4a(1-b)$$$$\;\;\,2=y'(5)=a(5-b)(5-1)=4a(5-b)$$Division der zweiten Gleichung durch die erste liefert:$$\frac{2}{-1}=\frac{4a(5-b)}{-4a(1-b)}=\frac{(5-b)}{-(1-b)}\quad\Rightarrow\quad5-b=2(1-b)=2-2b\quad$$$$\Rightarrow\quad b=-3\quad\Rightarrow\quad 2=4a(5-b)=4a\cdot8=32a\quad\Rightarrow\quad a=\frac{1}{16}$$Die Kurve lauete also:$$y(x)=\frac{1}{16}(x+3)(x-1)(x-5)=\frac{1}{16}\left(x^3-3x^2-13x+15\right)$$Den südlichsten Punkt finden wir dort, wo die Ableitung \(y'(x)\) zwischen \(x=1\) und \(x=5\) zu Null wird:

$$0\stackrel{!}{=}y'(x)=\frac{1}{16}\left(3x^2-6x-13\right)=\frac{3}{16}\left(x^2-2x-\frac{13}{3}\right)$$Mit der pq-Formel finden wir die Lösungen:$$x_{1,2}=1\pm\sqrt{1^2+\frac{13}{3}}=1\pm\sqrt{\frac{16}{3}}=1\pm\frac{4}{\sqrt3}$$Die Lösung mit dem Minus vor der Wurzel scheidet aus, weil wir eine Lösung zwischen 1 und 5 suchen:$$x_s=1+\frac{4}{\sqrt3}\approx3,3094\quad;\quad y(x_s)=-1,5396\quad\Rightarrow\quad S(3,31|-1,54)$$

~plot~ (1/16)*(x+3)(x-1)(x-5)*(x>=0)*(x<=5) ; (1-x)*(x<1) ; {1|0} ; {3,31|-1,54} ; {5|0} ; (-10+2x)*(x>=5) ; [[-1|6|-2|2]] ~plot~

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