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Aufgabe:

Berechnen Sie das Volumen einer Kugel mit dem Integral: 80R0R2x2R2x2y2dydx 8 \int \limits_{0}^{R} \int \limits_{0}^{\sqrt{R^{2}-x^{2}}} \sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}} d y d x

Bonuspunkt: Begründen Sie, war um dieses Integral das Kugelvolumen liefert.


Bei dieser Aufgabe komme ich einfach nicht weiter und verstehe auch nicht ,weshalb die 8 als Vorfaktor benötigt wird, um das Volumen einer Kugel zu berechnen. Für Tipps oder Hilfestellungen wäre ich sehr dankbar!

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Beste Antwort

hallo

substituiere x=r*cos(t), y=r*sin(t),  x2+y2=r2

zeichne das Gebiet auf und stelle fest dass du nur 1/8 der Kugel  hast.

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Vielen Dank! :)

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Aloha :)

Die Gleichung für das Innere einer Kugel (inlusive Rand) mit Radius RR und Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems lautet:x2+y2+z2R2x^2+y^2+z^2\le R^2Wegen der Symmetrie können wir uns bei der Berechnung des Volumens auf den ersten Oktanden des 3-dimensionalen Koordinatensystems beschränken, betrachten also nurx0;y0;z0x\ge0\quad;\quad y\ge0\quad;\quad z\ge0Dafür müssen wir im Gegenzug das Ergebnis unserer Berechnung mit 88 multiplizieren, um auch das Kugel-Volumen in den übrigen 77 Oktanden zu berücksichtigen.

Das Problem ist zunächst, die Integrationsgrenzen zu finden. Dazu gehen wir von der Gleichung oben ausx2+y2+z2R2x^2+y^2+z^2\le R^2und stellen fest, dass wir x[0R]x\in[0|R] frei wählen dürfen, ohne die Gleichung zu verletzen. Haben wir uns für ein xx entschieden, schränkt das die Wahl von y2y^2 und z2z^2 etwas ein, denn dann ist iny2+z2R2x2y^2+z^2\le R^2-x^2die rechte Seite fest. Wir können aber y[0;R2x2]y\in[0;\sqrt{R^2-x^2}] noch frei wählen, ohne die Gleichung zu verletzen. Jetzt sind xx und yy fest gewählt und die Wahlmöglichkeiten für zz entsprechend stärker eingeschränkt:z2R2x2y2z^2\le R^2-x^2-y^2Aber immerhin können wir noch z[0;R2x2y2]z\in[0;\sqrt{R^2-x^2-y^2}] frei wählen. Damit können wir das Integral zur Berechnung des Kugelvolumens formulieren:V=80Rdx0R2x2dy0R2x2y2dzV=8\cdot\int\limits_0^R dx\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}dy\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}dzIn der Aufgabenstellung wird leider nicht deutlich, dass man tatsächlich über 3 Dimensionen integriert, weil dort das Integral über dzdz bereits ausgerechnet ist:V=80Rdx0R2x2dy[z]0R2x2y2=80Rdx0R2x2dyR2x2y2V=8\cdot\int\limits_0^R dx\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}dy\,\left[z\right]_0^{\sqrt{R^2-x^2-y^2}}=8\cdot\int\limits_0^R dx\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}dy\sqrt{R^2-x^2-y^2}Das Integral über dydy betrachten wir nun gesondert:

Iy : =0R2x2R2x2y2dy=0R2x2R2x21y2R2x2dyI_y:=\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}\sqrt{R^2-x^2-y^2}dy=\int\limits_0^{\sqrt{R^2-x^2}}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1-\frac{y^2}{R^2-x^2}}dyWir substituieren wie folgt:y=R2x2sinφ;dydφ=R2x2cosφy=\sqrt{R^2-x^2}\sin\varphi\quad;\quad\frac{dy}{d\varphi}=\sqrt{R^2-x^2}\cos\varphiφ=arcsin(yR2x2);φ(0)=0;φ(R2x2)=π2\varphi=\arcsin\left(\frac{y}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)\quad;\quad\varphi(0)=0\quad;\quad\varphi(\sqrt{R^2-x^2})=\frac{\pi}{2}Iy=0π/2R2x21(R2x2)sin2φR2x2R2x2cosφdφI_y=\int\limits_0^{\pi/2}\sqrt{R^2-x^2}\sqrt{1-\frac{(R^2-x^2)\sin^2\varphi}{R^2-x^2}}\sqrt{R^2-x^2}\cos\varphi\,d\varphiIy=0π/2(R2x2)1sin2φcosφdφ=(R2x2)0π/2cos2φdφ\phantom{I_y}=\int\limits_0^{\pi/2}(R^2-x^2)\sqrt{1-\sin^2\varphi}\cos\varphi\,d\varphi=(R^2-x^2)\int\limits_0^{\pi/2}\cos^2\varphi\,d\varphiIy=(R2x2)π4\phantom{I_y}=(R^2-x^2)\cdot\frac{\pi}{4}Damit gehen wir zurück ins Volumenintegral:V=80Rdx(R2x2)π4=2π[R2xx33]0R=2π(R3R33)=43πR3V=8\int\limits_0^Rdx(R^2-x^2)\cdot\frac{\pi}{4}=2\pi\left[R^2x-\frac{x^3}{3}\right]_0^R=2\pi\left(R^3-\frac{R^3}{3}\right)=\frac{4}{3}\,\pi\,R^3

Avatar von 153 k 🚀

Vielen Dank!!!

Ich hab die beste Antwort leider schon vergeben obwohl du sie definitiv verdient hättest!

Danke dir. Du kannst die "beste Antwort" auch ändern... Das ist extra für Antworten gemacht, die später kommen ;)

Wie kann ich die beste Antwort denn ändern? :)

Gibt es neben der Antwort nicht das Feld "beste Antwort"? Wenn nicht, ist auch nicht schlimm, wäre halt nur schön gewesen. Trotzdem hat sich die Mühe gelohnt, wenn du die Rechnung verstanden hast... und darum geht es ja.

Dieses Feld gibt es leider nicht, muss ich dafür evtl zuerst etwas in meinem Profil einstellen oder so?

Ja es hat wirklich sehr geholfen, vielen Dank nochmal! :)

Nee, dann kannst du das nicht mehr ändern. Ist nicht schlimm, vielleicht beim nächsten Mal ;)

Tut mir leid, du hättest die beste Antwort auf jeden Fall verdient, beim nächsten Mal auf jeden Fall! :)

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