Aloha :)
Die Gleichung für das Innere einer Kugel (inlusive Rand) mit Radius R und Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems lautet:x2+y2+z2≤R2Wegen der Symmetrie können wir uns bei der Berechnung des Volumens auf den ersten Oktanden des 3-dimensionalen Koordinatensystems beschränken, betrachten also nurx≥0;y≥0;z≥0Dafür müssen wir im Gegenzug das Ergebnis unserer Berechnung mit 8 multiplizieren, um auch das Kugel-Volumen in den übrigen 7 Oktanden zu berücksichtigen.
Das Problem ist zunächst, die Integrationsgrenzen zu finden. Dazu gehen wir von der Gleichung oben ausx2+y2+z2≤R2und stellen fest, dass wir x∈[0∣R] frei wählen dürfen, ohne die Gleichung zu verletzen. Haben wir uns für ein x entschieden, schränkt das die Wahl von y2 und z2 etwas ein, denn dann ist iny2+z2≤R2−x2die rechte Seite fest. Wir können aber y∈[0;R2−x2] noch frei wählen, ohne die Gleichung zu verletzen. Jetzt sind x und y fest gewählt und die Wahlmöglichkeiten für z entsprechend stärker eingeschränkt:z2≤R2−x2−y2Aber immerhin können wir noch z∈[0;R2−x2−y2] frei wählen. Damit können wir das Integral zur Berechnung des Kugelvolumens formulieren:V=8⋅0∫Rdx0∫R2−x2dy0∫R2−x2−y2dzIn der Aufgabenstellung wird leider nicht deutlich, dass man tatsächlich über 3 Dimensionen integriert, weil dort das Integral über dz bereits ausgerechnet ist:V=8⋅0∫Rdx0∫R2−x2dy[z]0R2−x2−y2=8⋅0∫Rdx0∫R2−x2dyR2−x2−y2Das Integral über dy betrachten wir nun gesondert:
Iy : =0∫R2−x2R2−x2−y2dy=0∫R2−x2R2−x21−R2−x2y2dyWir substituieren wie folgt:y=R2−x2sinφ;dφdy=R2−x2cosφφ=arcsin(R2−x2y);φ(0)=0;φ(R2−x2)=2πIy=0∫π/2R2−x21−R2−x2(R2−x2)sin2φR2−x2cosφdφIy=0∫π/2(R2−x2)1−sin2φcosφdφ=(R2−x2)0∫π/2cos2φdφIy=(R2−x2)⋅4πDamit gehen wir zurück ins Volumenintegral:V=80∫Rdx(R2−x2)⋅4π=2π[R2x−3x3]0R=2π(R3−3R3)=34πR3