Hallo, diese Aufgabe bereitet mir Probleme. Zunächst habe ich f Verkettet mit g berechnet. Hier erhalte ich auch noch t, also die Identität. Bei g verkettet mit f komme ich aber einfach nicht auf die Umformungen. Habe ich schon falsch angesetzt? Sieht irgendjemand den Fehler oder hat die Idee, die mir fehlt? Da ich mit (x,y) starte, muss dies auch am Ende das Ergebnis sein (in rot). Danke vorweg!
Aufgabe:
Ein Pythagoras-Tripel ist ein Tripel \( (a, b, c) \in \mathbb{N}^{3} \) natürlicher Zahlen mit \( a^{2}+b^{2}=c^{2} \). Es heißt primitiv, falls \( \operatorname{gg} \mathrm{T}(a, b, c)=1 \) ist. Auf der Menge aller Pythagoras-Tripel wird folgende Äquivalenzrelation \( \sim_{P} \) eingeführt:
$$ (a, b, c) \sim_{P}(d, e, f) \Longleftrightarrow \exists q \in \mathbb{Q}_{>0} \operatorname{mit}(a, b, c)=(q d, q e, q f) $$
Man sieht leicht, dass es in jeder Äquivalenzklasse von Pythagoras-Tripeln genau ein primitives Pythagoras-Tripel gibt.
Folgende Abbildungen geben eine transparente Konstruktion aller (Äquivalenzklassen von \( ) \) Pythagoras-Tripeln.
\( \{\text { Pythagoras-Tripel }\} / \sim_{P} \stackrel{1: 1}{\longrightarrow} \quad S^{1} \cap \mathbb{Q}_{>0}^{2} \quad \stackrel{1: 1}{\longleftrightarrow} \quad ] 0,1\left[\cap \mathbb{Q}>_{0}\right., \)
\( [(a, b, c)] \quad \longmapsto \quad\left(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}\right)=(x, y) \quad \stackrel{f}{\longmapsto} \quad \frac{y}{1+x} \)
\( \left[\left(v^{2}-u^{2}, 2 u v, u^{2}+v^{2}\right)\right] \quad \longleftarrow\left(\frac{v^{2}-u^{2}}{u^{2}+v^{2}}, \frac{2 u v}{u^{2}+v^{2}}\right)=\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \frac{2 t}{1+t^{2}}\right) \quad \stackrel{g}{\leftarrow} \quad \frac{u}{v}=t \)
Satz \( 15.10(\mathrm{c}) \) sagt, dass man aus \( (u, v) \in \mathbb{N}^{2} \) mit \( u<v \) und \( \operatorname{gg} \mathrm{T}(u, v)=1 \) ein Pythagoras-Tripel \( \left(v^{2}-u^{2}, 2 u v, u^{2}+v^{2}\right) \) erhält, das entweder primitiv ist oder das nach Division durch 2 ein primitives Pythagoras-Tripel liefert. Nun sagt das Diagramm oben, dass man auf diese Weise jedes primitive Pythagoras-Tripel erhält.
(a) Rechnen Sie nach, dass \( f \circ g= \) id und \( g \circ f= \) id ist.
Text erkannt:
Anl gabe 2
\( a) \)
