Oberfläche eines Rotationsellipsoiden

Question

Text erkannt:

Das Radioteleskop Effelsberg hat einen Durchmesser von 100m und eine maximale Spiegeltiefe (in der Mitte) von $20.83 \mathrm{m}$. Es hat die Form ein es RotationsParaboloiden, d.h. seine Höhe z kann man beschreiben als z $=a\left(x^{2}+y^{2}\right)$ Skizzier en Sie das Teleskop und berechnen Sie die Konstante a. Anschließend berechnen Sie die Oberfläche des Teleskops

 Bei dieser Aufgabe komme ich leider absolut nicht weiter.

Da die Höhe ja als 20.83m vorgegeben ist und mir die mathematische Beschreibung der Höhe in Form von z=a(x²+y²) vorliegt kann ich das ja umschreiben zu 20.83m=a(x²+y²).

Da es sich um einen Rotationsparaboloiden handelt und der Durchmesser von 100m gegeben ist folgt daraus dass bei z=20.83m der Radius des Rotationsellipsoiden 50m beträgt und bei z=0m der Radius des Rotationsellipsoiden 0m beträgt, umgekehrt wäre es das Selbe.

Die Skizze des Teleskops lässt sich auf Grund meiner Überlegungen sofern diese richtig sind schon einmal anfertigen.

Aber wie lässt sich die Konstante a berechnen?

Für die Oberfläche des Teleskops würde ich ein Oberflächenintegral nutzen bei welchem ich leider nicht weiß wie ich es bestimmen kann.

Für Tipps und Hilfestellungen wäre ich sehr dankbar!

Comments

Nur zur Überschrift:

Beachte, dass es sich hier um ein Rotations-Paraboloid (nicht Ellipsoid) handelt !

Für die Oberflächenberechnung ist dieser Unterschied sehr wichtig.

Answer 1

Aloha :)

Die Konstante $a$ hast du dir ja bereits vollkommen richtig überlegt:$$20,83\,\mathrm m=a\cdot(50\,\mathrm m)^2\quad\Rightarrow\quad a=\frac{20,83\,\mathrm m}{2500\,\mathrm m^2}=0,008332\frac{1}{\mathrm m}$$

Zur Berechnung der Fläche benötigen wir zunächst einen Ortsvektor $\vec r$, der die Oberfläche abtastet:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\a(x^2+y^2)\end{pmatrix}\quad\;\quad x\in[0;50]\;;\;y\in[0;50]$$Beachte, dass durch Wahl der Intervalle der Ortsvektor $\vec r$ die Oberfläche lediglich über dem ersten Quadranten abtastet. Das erspart uns negative Vorzeichen bei der Rechnung und wir brauchen, wegen der Symmetrie der Situation, unser Integral nur mit $4$ zu multiplizieren, um die gesamte Oberfläche $F$ zu erhalten.

Wir benötigen noch das Flächenelement $df$ am Ort des Abtastvektors $\vec r$:

$$df=\left\|\frac{\partial\vec r}{\partial x}dx\times\frac{\partial\vec r}{\partial y}dy\right\|=\left\|\begin{pmatrix}1\\0\\2ax\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\2ay\end{pmatrix}\right\|dx\,dy=\left\|\begin{pmatrix}-2ax\\-2ay\\1\end{pmatrix}\right\|dx\,dy$$$$\phantom{df}=\sqrt{1+4a^2x^2+4a^2y^2}dx\,dy=\sqrt{1+4a^2(x^2+y^2)}dx\,dy$$

Damit ergibt sich das Integral für die Oberfläche:$$F=4\int\limits_0^{50}\int\limits_0^{50}\sqrt{1+4a^2(x^2+y^2)}dx\,dy$$Zur Berechnung bieten sich Polarkoordinaten an:$$\binom{x}{y}=\binom{\rho\cos\varphi}{\rho\sin\varphi}\quad;\quad\rho\in[0;50]\;;\;\varphi\in\left[0\,;\;\frac{\pi}{2}\right]\quad;\quad dx\,dy=\rho\,d\rho\,d\varphi$$$$F=4\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^{50}\rho\,d\rho\sqrt{1+4a^2\left((\rho\cos\varphi)^2+(\rho\sin\varphi)^2\right)}$$$$\phantom{F}=4\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^{50}\rho\,d\rho\sqrt{1+4a^2\rho^2}=4\cdot\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{8a^2}\int\limits_0^{50}8a^2\rho\,d\rho\sqrt{1+4a^2\rho^2}$$$$\phantom{F}=\frac{\pi}{4a^2}\int\limits_0^{50}8a^2\rho\,d\rho\sqrt{1+4a^2\rho^2}=\frac{\pi}{4a^2}\left[\frac{2}{3}\left(\sqrt{1+4a^2\rho^2}\right)^3\right]_0^{50}$$$$\phantom{F}=\frac{\pi}{6a^2}\left[\left(\sqrt{1+4a^2\rho^2}\right)^3\right]_0^{50}=\frac{\pi}{6a^2}\left[\left(\sqrt{1+4a^2\cdot(50\,\mathrm m)^2}\right)^3-1\right]$$$$F\approx9090,19\,\mathrm m^2$$

Comments

Vielen Dank!!! :)

Answer 2

Hallo

 ein Schnitt mit y=0 (oder x=0) gibt dir den Querschnitt z=ax² z=20,83 für x=50m

wie man Oberflächen von Rotationskörpern ausrechnet sieh in deinem Skript oder im netz nach etwa in wiki unter Rotationskörper, Mantelfäche

Gruß lul