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Die Produktionsfunktion eines Unternehmens laute
$$ F\left(x_{1}, x_{2}\right)=42 \cdot x_{1}^{0.12} x_{2}^{0.16} $$
wobei \( x_{1} \) und \( x_{2} \) die eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren \( A \) und \( B \) bezeichnen. Die Kosten der Produktionsfaktoren betragen pro Mengeneinheit 7 bzw. 2 Geldeinheiten. Vom Endprodukt sollen 464 Mengeneinheiten gefertigt werden. Fur die Produktionskosten in Abhängigkeit von den eingesetzten Mengen der beiden Produktionsfaktoren \( A \) und \( B \) existiert unter dieser Nebenbedingung im ersten Quadranten genau eine lokale Extremstelle.
Wie hoch ist dort der Einsatz von Faktor \( B ? \)
a. 2206.33
b. 9258.50
\( c .5957 .00 \)
d. 7302.20
e. 10296.20

https://www.wolframalpha.com/input/?i=minimize+7x%2B2y+with+42*x%5E0.12+*y%5E0.16+%3D+464

minimize 7x+2y with 42*x^0.12 *y^0.16 = 464


Wie komm ich auf den Einsatz von Faktor B?

LG

von

1 Antwort

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Aloha :)

Mist, wieso kriege ich immer die Dinger, wo Wolfram versagt?

Die Lagrange-Funktion lautet:$$L(x,y,\lambda)=7x+2y-\lambda(42x^{0.12}y^{0.16}-464 )$$

Diese leiten wir zunächst partiell nach \(x\) und \(y\) ab:$$0\stackrel{!}{=}\partial_xL=7-0,12\frac{\lambda}{x}\cdot42x^{0.12}y^{0.16}\quad\Rightarrow\quad0,12\frac{\lambda}{x}\cdot42x^{0.12}y^{0.16}=7$$$$0\stackrel{!}{=}\partial_yL=2-0,16\frac{\lambda}{y}\cdot42x^{0.12}y^{0.16}\quad\Rightarrow\quad0,16\frac{\lambda}{y}\cdot42x^{0.12}y^{0.16}=2$$

Bevor wir die Ableitung nach \(\lambda\) bilden, dividieren wir die beiden gefundenen Gleichungen:$$\frac{7}{2}=\frac{\frac{0,12}{x}}{\frac{0,16}{y}}=\frac{0,12}{x}\frac{y}{0,16}=\frac{3y}{4x}\quad\Rightarrow\quad4x=\frac{6}{7}y\quad\Rightarrow\quad x=\frac{3}{14}y$$

Nun gehen wir an die letzte Ableitung:

$$0\stackrel{!}{=}\partial_\lambda L=42x^{0.12}y^{0.16}-464=42\left(\frac{3}{14}\right)^{0,12}y^{0,12}y^{0,16}-464$$$$y^{0,28}=\frac{464}{42}\left(\frac{14}{3}\right)^{0,12}\quad\Rightarrow\quad \boxed{y=10\,296,20}$$

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