Ist es moglich, einen der Vektoren v1, auszutauschen?

Question

Ist es moglich, einen der Vektoren v1, auszutauschen?

Titel: Zeigen Sie, dass die Vektoren v1 , v2 und v3 linear unabhängig sind.

Stichworte: lineare,vektoren,unabhängig,abhängig,linear-unabhängig

Seien v₁ = $\begin{pmatrix} 1\\3\\-2\\2 \end{pmatrix}$ , v₂ = $\begin{pmatrix} -3\\2\\-1\\1 \end{pmatrix}$ , v₃ = $\begin{pmatrix} 1\\3\\-2\\3 \end{pmatrix}$ . V := ⟨v₁ , v₂ , v₃⟩ ⊂ ℝ⁴.

(a) Zeigen Sie, dass die Vektoren v₁ , v₂ und v₃ linear unabhängig sind.

(b) Ist es möglich, einen der Vektoren v₁, v₂, v₃ durch v = $\begin{pmatrix} -5\\-4\\3\\-5 \end{pmatrix}$ auszutauschen? Wenn ja, welchen?

(c) Ist es möglich, einen der Vektoren v₁, v₂ , v₃ durch w = $\begin{pmatrix} -1\\2\\-3\\4 \end{pmatrix}$ auszutauschen? Wenn ja, welchen?

(d) Finden Sie einen Vektor v₄ ∈ ℝ⁴, der v₁, v₂ , v₃ zu einer Basis des ℝ4 ergänzt.

Kommentiert 25 Mai 2020 von Oxeon

📘 Siehe "Vektoren" im Wiki

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Tschakabumba · Answer 1 · 2020-05-23T20:27:43+0000

Aloha :)

Stelle den Vektor $\vec v$ als Linearkombination der vorhandenen Basisvektoren $\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3$ dar: $\underbrace{\left(\begin{array}{r}-5\\-4\\3\\-5\end{array}\right)}_{=\vec v}=0\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{r}1\\3\\-2\\2\end{array}\right)}_{=\vec v_1}+1\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{r}-3\\2\\-1\\1\end{array}\right)}_{=\vec v_2}-2\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{r}1\\3\\-2\\3\end{array}\right)}_{=\vec v_3}$ Du kannst nun einen der Basisvektoren, von denen $\vec v$ abhängt, durch $v$ austauschen. Von $\vec v_1$ musst du die Finger lassen (Koeffizient $0$ ), sonst hast du keine Basis mehr. Du darfst aber $\vec v_2$ oder $\vec v_3$ durch $\vec v$ ersetzen.

Ist es moglich, einen der Vektoren v1, auszutauschen?

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