Wie zeige ich, dass der Eigenwert gilt?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei ein $n$ -dimensionaler $\mathbb{K}$ -Vektorraum $V$ und ein Endomorphismus $\varphi \in \operatorname{End}_{\mathbb{K}}(V)$. Seien weiterhin $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}$ paarweise verschiedene Eigenwerte von $\varphi .$ Zeigen Sie, dass dann $m \leq n$ sein muss und das

$$\sum \limits_{\lambda_{i}} \operatorname{dim}\left(\operatorname{Eig}\left(\varphi, \lambda_{i}\right)\right) \leq n$$ gilt.

Mein Ansatz:

(I) Sei $A$ eine $(n \times n)$ -Matrix. Es ist $\sum \limits_{\lambda \in K} \operatorname{dim} \operatorname{Eig}(A, \lambda) \leq n .$ Gleichheit gilt genau dann, wenn A diagonalisierbar ist.

(II) Sei $n(\lambda)=\operatorname{dim} \operatorname{Eig}(A, \lambda)$. Ist $\sum \limits_{\lambda \in K} n(\lambda)=n,$ so haben wir eine Basis aus Eigenvektoren konstruiert. Umgekehrt: Ist $A$ eine Diagonalmatrix, so gibt es eine Basis $\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ aus Eigenvektoren. Ist $m(\lambda)$ die Anzahl der Vektoren $v_{i}$ mit Eigenvektor $\lambda,$ so ist also $\sum \limits_{\lambda} m(\lambda)=n .$ Andererseits ist $m(\lambda) \leq n(\lambda) .$ Insgesamt sehen wir:
$$n=\sum \limits_{\lambda} m(\lambda) \leq \sum \limits_{\lambda} n(\lambda) \leq n$$ und demnach gilt überall das Gleichheitszeichen.

Ich bin mir nicht sicher, ob das korrekt ist. Vorallem ich sollte eigentlich das berücksichtigen: Man wähle zu jedem Eigenwert $\lambda_{i}$ eine Basis $B_{i}$ des Eigenraum Eig( $\varphi, \lambda_{i}$ ) und zeige, dass die Vereinigung$\bigcup_{i=1}^{m} B_{i}$linear unabhängig sein muss.

Comments

ich denke an sich ist dein ansatz korrekt, du musst nur mit der vereinigung zeigen, dass es linear unabhängig sein muss, also diese Linearkombination enthält keine endlich viele Vektoren

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Und wie geht das?

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ich bin mir nicht sicher

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Kann mir jemand dabei helfen ?