Zeigen Sie, dass DA eine n-fache, alternierende Linearform ist

Question

Aufgabe:

Seien (ℝ, +, ·, 0, 1) ein kommutativer Ring mit Eins und n ∈ ℕ_≥1, A ∈ M_n(ℝ) und
D_A : ℝⁿ × . . . × ℝⁿ → ℝ,
D_A(x₁, . . . , x_n) := dn(Ax₁, . . . , Ax_n).
Zeigen Sie, dass D_A eine n-fache, alternierende Linearform ist.

Bemerkung unter der Aufgabenstellung vgl. Kommentar.

Comments

Jemand eventuell eine Idee ?

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass DA eine n-fache, alternierende Linearform ist.

Stichworte: kommutativ,ring,beweise

Aufgabe:

Seien (R, +, ·, 0, 1) ein kommutativer Ring mit Eins und n ∈ N_≥1, A ∈ M_n(R) und
D_A : Rⁿ × . . . × Rⁿ → R,

D_A(x1, . . . , xn) := d_n(Ax1, . . . , Axn).

Zeigen Sie, dass D_A eine n-fache, alternierende Linearform ist.

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Du müsstest hier noch klären, wie d_n(...) definiert ist.

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also das war die komplette aufgabe und die Bermerkung drunter :

Bemerkung: Damit und mit Satz 4.2.5 (b) und (c) kann man relativ schnell beweisen, dass die
Formel ∀ B ∈ Mn(R) : det(AB) = det(A) · det(B) gilt

 (R,+,·,0,1) ein kommutativer Ring mit Eins.

Das hier ist satz 4.2.5

Satz 4.2.5 (Konstruktion einer alternierenden Multilinearform).
Sei (R,+,·,0,1) ein kommutativer Ring mit Eins.
(a) Durch d₁ := id_R und mit a₁ := (α_i1)1≤i≤n,...,a_n := (α_in)1≤i≤n ∈ Rⁿ durch

d_n(a1,...,an) := \( \sum\limits_{k=1}^{/n}{-1(^n+^k)} \)  · d_n−1(a₁⁽ⁿ⁻¹⁾ ,...,a_k−1⁽ⁿ⁻¹⁾,a_n⁽ⁿ⁻¹⁾ ) * α_nk

(„Entwicklung nach der letzten Zeile“) wird rekursiv für jedes n ∈ N≥1 eine
alternierende, n-fache Linearform auf Rn definiert.
(b) Es gilt dn(e₁,..., e_n) = 1 für jedes n ∈ N_≥1.
(c) Sei n ∈ N_≥1. Ist D irgendeine alternierende, n-fache Linearform auf Rⁿ, so gilt D = λd_n

hilft dir das eventuell weiter ?  

danke und liebe grüße
mit λ := D(e1,..., en).

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Hier haben wir die gleiche schöne Frage noch einmal: https://www.mathelounge.de/729901/zeigen-sie-dass-da-eine-fache-alternierende-linearform-ist.

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aber keine antwort , wie ich sehe ?

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Das stimmt allerdings.